舒尔不等式和霍尔德不等式的习题？

舒尔不等式表明，对于所有非负实数X，Y，Z和正数T，有:已知X，Y，z & gt=0那么∑ (x t) (x-y) (x-z) > =0等号“=”成立当且仅当x = y = z，或者两个数相等而另一个为零。当t为正偶数时，不等式对所有实数x，y，z成立舒尔不等式的证明:假设x & gt= y & gt= z∑x(x-y)(x-z)= x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)& gt；=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)>= x(x-y)(y-z)+y(y-x)(y-z)=(x-y)^2(y-z)>同样可以证明=0 t不是1。事实上，当t为任意实数时，我们仍然可以证明舒尔不等式。舒尔不等式不是联赛大纲规定的不等式，但在联赛不等式的证明中仍能发挥重要作用。赫尔德不等式是数学分析中的一个不等式，以奥托H？lder).这是一个揭示L p空间之间关系的基本不等式:设S为测度空间，设F在L p (S)中，G在L q (S)中。那么f g在L 1 (S)内，有。如果s取为{1，...，n}用计数测度得到了Holder不等式的特例:对于所有实数(或复数)x 1，...，x n；Y 1，...是的，是的。我们称P和Q为持有者的枷锁。如果我们把S作为自然数集的计数测度，我们将得到类似于上的无穷级数不等式。当p = q = 2时，得到柯西-施瓦茨不等式。Holder不等式可以证明L p空间中的广义三角形不等式和Minkowski不等式，证明L p空间是L q空间的对偶。[编者]注:在held yoke的定义中，1/∞表示零。如果1 ≤ p，q乘以∞，得到∞。【编者】霍尔德不等式的证明有很多，主要思想是杨氏不等式。若||f || p = 0，则f μ-几乎处处为零，乘积fg μ-几乎处处为零，故Holder不等式左端为零。如果||g|| q = 0，同样成立。因此，我们可以假设||f || p > 0且||| g || q > 0 .如果|| f ||| p =∞或|| g ||| q =∞，那么不等式的右端是无穷的。因此，我们可以假设||f || p和|| g ||g|| q位于(0，∞)内。若p = ∞，q = 1，则|fg| ≤ ||f || ∞ |g|几乎处处存在，不等式可由勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1，q = ∞，情况类似。所以我们也可以假设p，q ∈ (1，∞)。分别用f和g除| | | f | | | p | | | | |，我们可以假设我们现在用的是杨氏不等式:对于所有非负A和B，方程成立当且仅当A P = B Q .因此:双侧积分，所以:这证明了holder不等式。在p ∈ (1，∞)和||| f ||| p =||| g || q = 1的假设下，方程成立当且仅当|f | p = |g| q几乎处处存在。更一般地说，如果||f || p和||| g ||g|| q位于(0，∞)以内，那么赫尔德不等式变成方程当且仅当α，β>；0(即α = ||| g ||| q和β = ||||| p)，这样:μ-几乎处处(*) || f ||| p = 0对应于(*)中的β = 0。||| g ||g|| q =对应(*)中的α = 0。【编者】参考哈代、G . H；利特伍德& ampG. Pólya (1934)，不等式，剑桥大学出版社，ISBN 0521358809 H？lder，O. (1889)，" Ueber einen Mittelwerthsatz "，全国人权委员会。Ges。维斯。g？廷根:38–47库普佐夫，L.P. (2001)，“H？Lder不等式”，载于Hazewinkel，Michiel，数学百科全书，克伦威尔学术出版社，ISBN 978-1556080104 Rogers，L . j .(1888)，“不等式中某个定理的扩展”，《数学信使》17:145–150 Kut tler，Kenneth (2007)，《线性代数导论》，在线电子版2009年6月27日到访。张元璋，杨氏不等式的证明及应用，河南科学。第01号，第22卷。2009年6月27日到访。摘自"/%E8% B5% AB "