大学教材如何证明算术基本定理？

第一个结论是，如果A和B互质，充要条件是:必有m，n为整数，使得am+bn=1。这个结论的证明是:

必要性:

按阶段划分:

设两个数为A和B (B < A)，求它们的最大公约数D的步骤如下:A除以B得到A = Bq1+R1 (0 ≤ R < B)。如果r1=0，那么(a，b)= b；如果r1≠0，将b除以r1得到b = rq2+R2 (0 ≤ R2 < r1)。如果r2 = 0，(a，b) = r1，如果r2≠0，继续将r1除以r2，以此类推，直到它被整除。它最后一个非零余数是d。

根据折腾和划分，我们可以得到:

a = bq 1+r 1(0 & lt；r 1 & lt；b)

b = r 1q 2+R2(0 & lt；r2 & ltr1)

r 1 = r2q 3+R3(0 & lt；r3 & ltr2)

……

rk-2 = rk-1qk+rk(0 & lt；rk & ltrk-1)

……

rn-2 = rn-1qn+rn(0 & lt；rn & ltrn-1)

rn-1=rnqn+1

那么(a，b) = (a-bq1，b) = (b，r1) = (r1，R2)=……=(rn-1，rn) = rn。

从上一个公式一步一步，可以求出m和n，这就证明了m和n的存在！

使你的d=1，这是一个b互质。

充足性:

设a和b的最大公约数为d，则a = xd，b = yd x y为整数，然后代入公式:

Xdm+ydn=1，所以d是1的除数，所以d=1是a和b互质。

以下证明原问题:

A m互质表示有整数P1和Q1，使得a*p1+m*q1=1。

B m互质意味着有一个整数P2，Q2使b*p2+m*q2=1。

将以上两个公式相乘得到:

a * b * p 1 * p2+m(a * p 1 * Q2+b * p2 * q 1+m * q 1 * Q2)= 1

由于p1 p2 q1 q2 a b m都是整数，所以p1*p2，A * p 1 * Q2+B * P2 * q 1+M * q 1 * Q2也都是整数，所以a b和M互质。

拿去吧，不好找！！