一道大学数学题

(1)，∫z(z-a)(za-1)= 0的点就是f(z)=(z？+1)/[z(z-a)(za-1)]，∴有三个唯一点，即z1=0，z2=a和z3 = 1/a

∴由留数定理，RES [f (z)，z 1]= lim(z→z 1)(z-z 1)f(z)= lim(z→0)(z？+1)/[(z-a)(za-1)]= 1/a .同样，Res[f(z)，z2]=(a？+1)/[a(a？-1)]，Res[f(z)，z3]=(a？+1)/[a(1-a？)]。

(2)设z = e (i θ)和∴dθ=dz/(iz).∴cosθ=(z+1/z)/2。∴ I = (I/2)丨z丨=1(z？+1)dz/{z[z？+1-(1+a？)z]} .

(3)∵a & gt；1，∴在的领域丨丨=1，f(z)有两个极点:z1=0和z3 = 1/a. ∴从柯西积分定理，有原公式= (2π i) {res [f (z)，z1]+res [f (z)，z3]} = 2π/[a (a？-1)]。

供参考。