数学悖论的起源是什么？

镇上有一个爱吹牛的理发师。一天，理发师夸口说:“我给镇上所有自己不刮胡子的人刮胡子，只有这样的人刮。”

大家对此都笑了。有人问他:“理发师先生，你会自己刮胡子吗？”

“这，这，…”理发师张口结舌，半天说不出一句话。

原来，这个自吹自擂的理发师陷入了矛盾的困境。如果他自己刮胡子，不符合他前半句的说法，就不应该刮胡子；但是，如果他不刮自己的毛，不符合他后半句的说法，他应该再刮自己的毛。不管你刮不刮，反正都不对。

像理发师这样逻辑矛盾的说法，叫做悖论。罗素编的这个笑话就是数学史上著名的巴伯悖论。

理发师的样子很滑稽，但数学家们听了却笑不出来，因为他们自己也和喜欢吹牛的理发师一样，陷入了矛盾的尴尬境地。

事实上，20世纪初的数学家甚至比那个自吹自擂的理发师还要尴尬。理发师只要取消原先的说法，厚着脸皮去笑，什么事都不会发生；数学家没有他那么幸运，因为他们遇到了一个无法回避的数学悖论。如果原来的“声明”被撤销，现代数学中大多数有价值的知识都将不复存在。

这个数学悖论也是罗素提出的。1902年，罗素按照数学家常用的逻辑方法，从已被公认为数学基础理论的集合论中“严格地”构造了这个数学悖论。普及一下就是巴伯悖论。

集合论是19年底发展起来的数学理论，迅速渗透到数学的各个角落，直到中学数学课本。它极大地改变了数学的整个面貌。就像数学家们刚刚把数学奠定在集合论的基础上一样，罗素悖论出现了，它用无可辩驳的事实指出，谁同意集合论，谁就会成为“喜欢吹牛的理发师”，从而陷入自相矛盾的困境。数学家极其尴尬。如果继续承认集合论，那么号称绝对严谨的数学，就不会因为罗素悖论这样的怪物而被证明是正当的。如果集合论不被认可，那么许多重要的数学发明将不复存在。

罗素悖论震惊了数学界，导致了一场涉及数学基础的危机。人们发现，数学这座辉煌大厦的基础部分有一条巨大的裂缝。如果不修复，整栋楼随时都有倒塌的危险。

数学家勇敢地接受了挑战。他们仔细研究了罗素悖论的起因。原来，之所以会出现罗素悖论这样的庞然大物，是因为在集合论中，“集合的集合”这句话是不能随便说的。因此，数学家们开始探索在什么情况下数学结论是真实的，数学推理是有效的...，从而创建了一个新的数学分支——数学基础理论。

在这个领域，由于数学家的观点不同，出现了三个著名的学派。以罗素为代表的数学家被称为逻辑学家。他们认为，只要不允许“集合的集合”这种不合逻辑的语言，罗素悖论就不会发生。以布劳威尔为代表的数学家被称为直觉主义者。他们认为“集合的集合”是无法直观理解的。如果不承认其合理性，罗素悖论自然不会产生。以希尔伯特为代表的数学家，被称为形式主义学派。他们认为悖论是不相容的表现。

三大学派都提出了修补数学基础的计划，并且因为各自的见解爆发了一场大辩论。这场大辩论对现代数学的发展产生了深远的影响，也导致了许多新的数学分支的诞生。

目前，修补数学基础的工作还没有取得完全令人满意的结果，数学家们还在顽强地奋斗着。