一个大学力学问题

这是根据刚体转动惯量的定义计算出来的。由于细杆质量为m，长度为l，质量均匀分布，其线密度为m/l，各段的惯性矩因离轴的距离不同而不同，需要积分，这样细杆对转轴的惯性矩为(积分上限l，积分下限0):

I=∫(M/l)r？dr=Ml？/3 .

细杆一端的弹性片相对于转轴的惯性矩为

i=ml？。

细杆和子弹的角动量之和为

J=(I+i)ω=ml？ω+1/3Ml？ω.

这等于子弹撞击细杆时的初始角动量mvl，那么根据角动量守恒，mvl=ml？ω+1/3Ml？ω.

以此为基础，可以得到细杆子弹系统的初始角速度:ω=3mv/(3m+M)l .

和初始动能:Ek=(I+i)ω？/2=Jω/2=1.5m？v？/(3m+M)。

当系统运动到最大摆角时，初始动能全部转化为重力势能。设最大摆角为θ，则

细长杆重心的H=0.5l*(1-cosθ)，势能的EP 1 = MGH = 0.5 mgl *(1-cosθ)；

子弹重心增加h=l*(1-cosθ)，势能增加EP2 = MGH = MGL *(1-cosθ)；

所以根据系统的机械能守恒，Ek=Ep1+Ep2，即

1.5m？v？/(3m+M)=(0.5M+M)GL *(1-cosθ)。

可解决:

cosθ=1-3m？v？/[(3m+M)(M+2m)gl]。

也可以利用重力矩做负功，使初始动能全部转化为重力势能，达到最大摆角θ。设任意时刻的摆角为θ'，则系统重量力矩为

M = mgl * sinθ'+∫(M/l)gr * sinθ' dr = mgl * sinsθ'+0.5 mgl * sinsθ'。

重矩做的功是(积分上限θ，下限0)

w =-∫MDθ=-∫(m+0.5M)GL * sinθ' dθ' =-(0.5M+m)GL *(1-cosθ)。

这等于系统动能的变化，也就是

W=0-Ek=-1.5m？v？/(3m+M)。

从上面可以解决:

cosθ=1-3m？v？/[(3m+M)(M+2m)gl]。

当cosθ=1-3m？v？/[(3m+M)(M+2m)GL]& gt；0, θ

当cosθ=1-3m？v？/[(3m+M)(M+2m)gl]≤0，θ≥π/2，初速度满足V？≥(1+M/3m)(2+M/M)GL；

更进一步，当1-3m？v？/[(3m+M)(M+2m)gl]≤-1，θ≥π。这个时候系统转到最高点还有动能，所以会继续转，做变速圆周转动。