数学的基本思想

在他看来，在数学教学中，通常的等价代换、数形结合、递归法、换元法都可以称为数学思想方法，但都不是数学的基本思想。

因为在描述这些概念的时候，必须附加一些具体的数学内容，所以这些概念本质上是个例，而不是一般的。另外，这些概念都不是最基本的。比如关于等价替换，人们可以进一步问:为什么在计算过程中可以进行等价替换？这意味着，作为一种方法，等价替换可以从其他更基本的原理中推导出来。因此，有必要确立数学基本思想的判断原则。

我们确立了两条原则:

第一个原理，数学的产生和发展必须依赖的思想。

第二个原则是学过数学的人应该具备的基本思维特征。

根据这两个原则，数学的基本思想被概括为三个核心要素:抽象、推理和模型。这三者在数学中的作用和相互关系大致是这样的:

人们通过抽象，将现实世界中与数学有关的事物抽象到数学中，形成数学的研究对象，思维特点是抽象能力强；

通过推理，从数学的研究对象出发，在一些假设条件下，人们可以逻辑地得到研究对象的性质以及描述研究对象之间关系的命题和计算结果，推动了数学的发展。思维特点是逻辑推理能力强；

通过模型，人们用数学创造的语言、符号和方法来描述现实世界中的故事，在数学和现实世界之间架起一座桥梁。思维特点是表达事物规律的能力强。

当然，对于具体的数学内容，也不可能把三者完全分开，尤其是抽象和推理，抽象和模型。

在推理过程中，往往需要从已有的数学知识中抽象出不直接来自现实世界的概念和算法；

在建立模型的过程中，往往需要将复杂的现实背景中最本质的关系抽象出来，用数学语言表达出来。

相反，抽象的过程往往需要逻辑推理的帮助；通过推理判断概念之间的关系，判断什么是命题的独立性，什么是命题的相容性，最后抽象出公理系统；

我们在很多案例的运算过程中发现规律，通过推理验证什么是最本质的规律，最后用抽象符号表达出通用算法。所以在数学研究和学习的过程中，抽象、推理、模型往往就在你我之间。