从任何序列中，必须找到一个单调的子列。

设序列{an}证明{an}的单调子序列{bn}的存在性。

1.

如果{an}是无界的，您可能希望设置它的上限，然后可以按如下方式构造子列:

B1=a1，因为{an}没有之前的会话，n的存在使得an >: A1，b2=aN。

同样，还有aM & gtAN，b3=aM。连续的线可以构成单调递增的序列{bn}。

如果{an}没有下一个会话，您可以像上面一样构造一个减法序列。

2.

如果{an}是有界的，可以假设{an}收敛于实数A，因为它一定有一个收敛子序列。

把数轴分成三个区域:小于a，大于a，等于a，这三个区域至少有一个。

在{an}中包含无限个点。

I如果区间上有无穷多个点等于A，只需构造常数序列BN = A .

Ii如果小于a的区间上有无穷多个点，这些小于a的项可以组成一个新的数列{a'n}并收敛于a，那么不妨记为{an}，数列可以构造如下:

B1=a1，for(A-A 1)/2 & gt；0，n的存在使得(a-an)；A1，b2=aN，

for(a-an)/2 >；0，m的存在使得(a-am)；AN，b3=aM，如果继续这条线，可以得到单调递增序列{bn}。

如果有无穷多个点大于a，则可以如上构造一个减法序列。

总而言之，这个命题被证明了