如何理解二阶张量？

我们知道压强p是一个标量，也就是零级张量。对于空间中的一个点，给定一个位置，有一个压强值。然后开始做压强梯度场。标量梯度场是矢量，即1阶张量。此时，我们仍然可以说空间中的一个位置存在一个向量值，这是事实。但更有意义的是，对于空间中的一个位置和任意一个单位矢量，我们可以求出压力在这个点的场中沿这个单位矢量方向的变化，即压力梯度点乘以单位矢量的值。回到弹性。为什么需要用二阶张量来描述应力应变？因为对于一个质点的应力状态，我们的要求是，对于空间中的一个质点，对于任意一个单位矢量，我们需要知道沿着这个单位矢量方向的力的大小和方向。这里就奇怪了，为什么一个沿着某个方向的力还是有方向的。这是因为当我们讨论某个方向的力时，不仅有沿法线方向的正作用力，还有垂直于法线方向的剪切力。点乘以一个向量或者向量是什么？那是二阶张量。其实二阶张量的定义比较复杂，可以参考北大出版社的《弹性力学教程》第一章。弹性力学中还有一个四阶张量，就是本构模型中的模量。这是因为对于一个粒子，给定任何二阶张量应变，我们都可以得到某种二阶张量应力。点乘以二阶张量等于二阶张量是什么？四阶张量。只是我们一般利用这个四阶张量的强、弱对称性，用Voigt记法写出一个6×6的矩阵。在研究损伤力学的时候，我们需要有东西把某个模量映射到某个损伤模量上。理论上这个东西应该是八阶张量。但是，在研究中一般不这么做。