阿贝尔用什么公式证明五次方程没有通解?
在1824中,Abel第一次正确证明了一般五次方程是根不可解的。更详细的证明发表在1826期《crell》杂志第一期,题为《一般方程代数解高于四次的不可能性证明》。在这篇论文中,阿贝尔讨论并纠正了鲁芬尼论证中的缺陷。鲁菲尼的“证明”。因此,在由已知方程的系数决定的基本定义域和定义域的展开下是无法工作的。此外,鲁菲尼的“证明”还使用了一个未被证明的关键命题,这个命题后来被称为阿贝尔定理。这个定理说,如果一个代数方程可以用根来求解,那么根的表达式中的每一个根都可以表示为方程的根和一些单位根的有理函数。阿贝尔就是用这个定理来证明高于四次的一般方程不可能有根解。
上面提到的阿贝尔定理也是“置换群”的思想。
当他在进一步思考哪些方程(如X ^ N-1 = 0)可以用根来求解时,阿贝尔证明了以下定理:对于任意次的方程,如果方程的所有根都可以用其中一个来有理地表示(我们用X来表示),并且任意两个根Q(x)和Q1(x) (X)如果满足关系式QQ1(x)=Q1Q(x),那么所考虑的方程总是代数的换句话说,根xi=Q1(Xi),Q2(Xi),…,Qn(Xi)是根x1,x2,…。
阿贝尔的遗作中有一份未完成的手稿,即《Surla résolution algébrique des Fontions》(1839)。本文叙述了方程理论的发展,并再次讨论了特殊方程的可解性。它为伽罗瓦遗作的出版铺平了道路。在序言中,阿贝尔暗示了一种重要的思维方式。他认为在解方程之前,应该先证明其解的存在性,这样整个过程就可以避免“计算的复杂性”。在代数方程可解性的理论研究中,他还提出了一个研究纲领,即他的工作需要解决两类问题:一是构造任意数的代数。二是确定已知方程能否用根求解。他试图描述所有能用根求解的方程的特征。但他因早逝而未能完成这部作品,他只解决了第一类问题。几年后,伽罗瓦接替了他的工作,用群方法彻底解决了代数方程可解性的理论问题,从而建立了所谓的伽罗瓦理论。
我给你发了一封关于伽罗瓦的群结构思想的邮件。有兴趣可以去看看。