为什么1+1=2
创造？源头是清白。还记得你在幼儿园的时候，把一个苹果和数字“1”联系起来，然后数苹果在计算“1+1=2”时遇到的谜题吗？这种困惑可能不是偶然的。我们接受的数学教育，往往是抽象概念，忽略具体差异的过程，但我们的思维方式是惊人的。它是一种范畴研究，关注一个苹果和另一个苹果的区别，以及事物之间的关系。
80年前，物理学家为了研究量子系统的对称性，将数学中的群论引入物理学。今天，为了研究复杂系统中的量子纠缠，物理学家已经开始研究数学的范畴。这种量子纠缠是从进化论角度理解量子态性质起源、基本粒子起源乃至时空起源的关键。在还原论和表演中？在今天的竞争中，分类变得越来越重要。可以说微积分对于还原论的物理学有多重要，范畴又是如何对立的？谈论物理是多么重要。分类带来了超乎数学家想象的宏伟。概念上统一吗？分析与代数，统一？离散和连续。今天我们很好奇1+1=2？进入分类的奇妙世界！
作者|孔亮(中国南方科技大学深圳量子科学与工程研究所)
引用
这个吗？张真的是说你年轻吗？风景园林1+1=2没有任何数学背景都可以看，只要你对1+1=2好奇？。但我们的动机是介绍数学范畴的基本精神，所以有必要先简单提一下？下一类，不通过？读者可以直接跳过引文吗？。
范畴化起源于代数拓扑学，由塞缪尔·艾伦伯格(1913-1998)和桑德斯·麦克林(1909-2005)在20世纪40年代提出。？从六点开始？亚历山大格罗滕迪克(1928-2014)？分类语言？重建代数自从它出现在数学中有什么基础？分类主义取代集合论成为数学的新基础。这种趋势不仅在数学领域愈演愈烈，而且在20世纪90年代也引起了注意？新的强者？搬家？:物理。？科学家发现描述二维有理* * *量？场论和任意维拓扑序的数学语言？也是一类。当然，这没什么奇怪的。你了解分类吗？不会感到惊讶。因为分类带来的变化？就是这么低级，它从根本上改变了我们对数学的看法(甚至？它是其他学科的基本范式。？不懂品类？可能和这句话有很大关系？冲突。这也很正常。没有对范畴化的真正理解，很难想象范畴化是可能的。也许看完这个？你的抵抗力会稍微降低？一些。我觉得分类是一种延续？牛顿的微积分？人生之后，第二语言？什么事？生活，其实范畴本身就是？新的微积分。她吗？量体现在很多方面，比如:？一个简单的类别公式就能完成？一个复杂的量？场论的构建，还是联立计算？差多少？场论融合；很多复杂的物理和数学结构？然而呢？然而，它是绝对的；更重要的是，很多集合论之外的数学或物理事实，只能在范畴的意义上陈述和理解。就最后一个？告诉我们，有吗？超越集合论的新数学？鲁等着我们去发现，去探索。现在有更疯狂的猜测，那就是分类是多质量的吗？纠结和数量？引用？的基础。
品类的变化？这么低级，怎么可能？有疑问？所有科学领域呢？，包括逻辑、数学、物理、计算机科学、语言？理科，社会学，经济学等等。所以让超过数学？了解它是有意义的。本。就扔个砖头？坦白说，这个变化？底部如何，底部需要我们不断返回，直到每一个？答？谁开启了数学的启蒙？雕刻。
1.1+1 = 2?
我相信我们每个人。答？我们所有的数学教育都是从1+1=2开始的，从哪里开始？从一开始，我们就打开了它？领域抽象数学之旅“去范畴化”范畴化呢？场回归。
创造？源头是清白。
亚历山大·格罗滕迪克
我希望？家和我？回学前班？作为孩子的状态。这样你才能看清问题的本质。
1+1=2很难理解。我们真的了解吗？也许你觉得没有什么困难，只有付出的时候？一个没听过1+1=2的学前班？孩子解释的时候，你能听懂吗？这个问题有多难。
第一个？难点在于:什么是“1”？
第一个？难点是:什么是“+”？
第三个难点是:什么是“=”？
第四个难点是:“2”是什么？
什么是“1”？你确定你知道“1”是什么吗？你呢。1过了吗？？朋友不知道“1”是什么。为了让孩子理解数字，通常，老师的教学方法是什么？实物？比如？用磁铁？猪，？鸭子，苹果，？香蕉，等等，把它们吸到腰带上？属？在黑板上。是真的吗？东？是我们存在的基本经验，其他的都不靠谱。
让我来。符号o代表苹果，j代表苹果？香蕉。我们再放一次好吗？里面有苹果吗？那就上去吧。下面的公式出现在黑板上:
O+O=OO，(1)
好吧。我们？我吃过苹果，所以o没毛病，但是“+”是什么？“=”是什么？
真的吗？朋友？一般可以接受(1)，接受的方式是忽略“+”。(1)不是“OO=OO”吗？“+”很难理解。我先跳过，先说“=”。其实这个更难！
“=”(等于)是？一件很难理解的事？。在现实世界中？我们几乎没有？完全通过二？什么样的东方？。“OO=OO”两边的苹果其实不是？算是吧。事实往往是，也许他们的脸？有些不同，还是磁铁的吸引力？一些差异，等等。那么“=”就很难理解了。你在线吗？直播？对吗？当我们不说平等时，我们说“？样本。”那么左边的“OO”和右边的“OO”是什么意思？比如"？
你能让我说话吗？让我震惊的故事。我是第一个？第二次在深圳中学做报告，我说不知道什么”？“请中学样？给我的？一“学前班？孩子”解释道。然后就是？一个勇敢的同学走了过来。他分别拿出了左边的OO和右边的OO。一个苹果，然后把这两个苹果放进去？起来，然后把剩下的两个苹果放进去？不好意思，他说这是“？样本。”其实他把左OO和右OO都给了？对应关系可以用图表来表示:
这已经是？够精彩了吧，但精彩还在后面呢。。问题是，你为什么要这么做？我们在学习？职业生涯中有很多困惑，经常搞不清楚有些选择是受底层原则引导还是偶然随机。实际上，孩子？孩子很敏锐。？一定有一个看起来很傻的孩子？我想知道，为什么？当时这位同学解释完，我就问？“这里的家？“样本”的定义是什么意思？？然后还有很多学问？质疑这个。？首先，这是定义吗？自然，合理？其次，这个定义不是唯一的？是的？如果还能选择？这定义了"？示例:
说点什么？老实说，我很震惊。我躲在后面，好吗？东？全靠中学？找到了。？《经济学家》看到问题所在了吗？
现实世界可能没有两个东？完全吗？比如(请让我忽略计量？同一个粒子？我们现在还年轻？园，没有听说)。？将军？你想在家里看到两种东方风格吗？样，就把这两个东比较一下？下去。但是这两个东？不可能完全？样本，所以呢？年纪大了就不理了？在一个极端的情况下，我们忽略了一个苹果的所有内部结构和属性，把它看成一个既没有内部结构也没有附加属性的东西(也就是集合论中的元素)。在这种情况下，一一对应就是一个很好的“相同”的定义。如果我们接受这个定义"？“是样品吗？是的，是吗？“对应”来定义？样本。”那么问题来了:
有两种吗？比如"？“还是样品？比如？
在现代数学或范畴中是这样吗？一个基本问题已经深入思考过了。现代数学或范畴观是:有两种没有？比如"？“不是样品吗？样本，除了？什么事？答？另一个？再来一杯。然而。？左边的苹果？哪个是红色的？一个是绿色的；右边也是吗？红色的吗？绿色的。？答？然而"？样”是为了保住面子？"?样本。”但是没有脸？在这个附加的“结构”之前，我们有两种不？比如"？样”，其实不是？样本。
对于那些有线性代数基础的读者？段落:
这个问题看似简单，实则不然？一枚核弹？问题，在数学中？无处不在的外观给很多初学者造成了困惑。？比如国内很多教材把线性代数教成矩阵代数。很多学问？一个线性空间，就？动起来穿上？矢量基础。其实(线性空间+给定基)和线性空间完全不一样吗？种数学结构！未知？就这样吗？如何区分线性空间和对偶空间？为什么，也会混淆切空间和余切空间的区别。？什么是有限维线性空间及其对偶空间？数字是线性同构的，而不是？是谁呀？当然但是？从有限维线性空间到其对偶空间的对偶空间是什么？答？自然的同构。
我们注意到了吗？反复出现”？“冉”这个词。？范畴化的起源是艾伦伯格-麦克莱恩试图定义什么是？然而，“哪一个触发了”？“自然转化”的概念，以此来定义”？但是，转型”，需要领导吗？“信？”(函子)的概念，以定义信？,?需要引用吗？“范畴”的概念。
本。不想吗？这些概念性的细节，但我们希望展示给他们？子范畴的基本精神。大致来说:所有的苹果都可以算是？一个“类别”所有？香蕉是另一个？一个“品类”，他们都能放进去？再来一杯。它叫什么？水果”一类。
我们想说，从OO中抽象出来？一个“2”是什么概念？常难，？而且往往需要暴力？诊所。？老师在领导？在“2”之前，为了加深理解，你会多放两个吗？香蕉。为什么我们不？j来代表？香蕉。那又怎样？在板上出现以下公式:
J + J = JJ，(2)
但是同样的问题还是会困扰我们。更多品牌？令人困惑的是。老师有时候还在吗？在通往“2”的路上多做一些迷惑我们的事如果这些都是“2”为了坚持，可能会有这样一个公式:
OO=JJ。
这里没有吗？一个“类别”可以吗？样”？很粗心，如果苹果不够？，也可能暂时出现？公式为:
O + J = J + J。
疯了，苹果和？可以加香蕉吗？苹果和？香蕉不在这里？如何添加类别？事实上，我们可以说？一个苹果是“1”。答？香蕉也是“1”，它们都是“1”的代表，但从这些代表中抽象出来的“1”是什么概念呢？这往往是困难的。可能那些连1+1=2都不懂的孩子？不傻？把握住了吗？一些深刻而原始的东方？。
下面我们来看看如何解读范畴中的1+1。
二、范畴观:万物的本质
对范畴的看法和我们最幼稚的看法一样吗？样本，？一个苹果是“1”。答？香蕉也是“1”。都是“1”的代表。既然只是代表，那是否说明他们不是“1”？那么“1”到底是什么呢？
“1”要体现“1”所有这些不同代表的“* * *性质”。数学家给了这个“* * *一个性质”？一个正式的名称是“普遍财产”。如何写出“1”这些不同代表的* * *性质？
分类提供？一种全新的视角？。没有吗？"?一个研究对象”“东方是什么？”像这样？经常集合论还是还原论？打字看问题，？基于物体和其他物体之间的关系？打字理解？对象。这个？公式对于我们理解世界是否真的更为根本？方法，？如果你想知道？一个未知的“存在”(比如一粒？、材料等。)，你会怎么做？你会吗？你熟悉董吗？进去看看你能测量出什么。物理学家可以测量？一种新材料的发射光谱和吸收光谱，X射线看X射线衍射；数学家会放球？扔进去？一个未知的空间去测量，还是看你能不能制造？小组工作？上去，等等。？加速器的云室不是测量粒子吗？的轨迹？是谷物吗？还有其他东？互动？的轨迹。没有互动？，度量也？从……开始。什么事？可以肯定地说:
这个世界上没有？相互关系还是相互作用？更基本的存在。
那样的话，我们可以试试吗？关系来定义什么是“1”。
我们先复习一下好吗？一个概念:集合之间的映射。是集会吗？堆元素的一个“集合”，呵呵。但值得指出的是，空集也是？那是收藏吗？没有元素的集合。那么两个集合A和B之间的映射是什么呢？？考虑两个集合x = {a，b}，y = {1，2，3}，？从x到y的映射，写为
或者
这其实是？分配规则:给每个x？元素只分配给y中的元素？比如f (a) = 1，f (b) = 1是？合理的映射，g(a)=2，g(b)=3？一张地图。但是不能把Y中的两个元素赋给A！如果集合X没有元素(空集)，则等于分配规则？一旦被定义，这个不需要分配任何东西的分配规则就被称为空映射。
有了这些准备，我们能给？定义。
定义:1是这样吗？有收藏吗？它有所有的集合，并且只有一个映射[1]。我们有吗？一个简明的图表来记录这个定义:对于任何集合x，我们有
这个？"
“就是‘存在’的意思，”！”意思是“魏？" [1]。还要注意，定义中的“对任意集合x”也是？往往很重要！不是吧？特别收藏？都组装好了！
你见过这个定义吗？说到“1”和所有集合的关系，这件事相当重要。但是首先？下次见到这位读者可能更重要。是的，为什么是“1”？合理的定义？让我们看一看。苹果的收藏是不是充满了不满？这个定义？？答？香蕉的收藏呢？或者，零或三？香蕉呢？还是全中国？一批？
如果你愿意尝试，你很快就会发现零？香蕉，对吗？因为它破坏了定义中的映射“存在”条件。“三个？“不是香蕉吗？因为它破坏了映射的“唯一性”？做爱。“什么大会可以吗？只有这些吗？元素的集合。比如？一批苹果，一个？一堆香蕉？一堆鸡蛋，一个？套等等，它们能保证存在和唯一吗？做爱。
所以“1”的定义不是唯一的？，这好像是？一个瑕疵，却是一个美好的地方？是的，所有可能的“1”有且只有一个？善良？式互相对应，这是由“存在”和“唯一？性”，以及“1”的具体内容？关闭。比如教书？朋友的时候可以有一个苹果代表1，也可以有一个苹果？香蕉代表1。我们知道如何把它们等同起来！你能相信吗，年轻人？虽然园子很辛苦？认真教“去范畴化”的数学，但是教？法律是什么？法律规避的分类！因为事实就是如此。
这个定义也被称为“1”的“普适性”。也就是说，我们？“1”来定义“1”？没有吗？“1”是什么意思？来定义“1”。所有数学概念都可以？它的“普遍性质”来定义，我说的是“所有”，是的，你没有听错！
太好了，如果你能跟上我，我们会再来的？A.
定义:0就这样？一个集合，它对任何？所有集合都存在，并且只有一个映射。也就是说，对于任意集合x，我们有:
这是为了什么？在家做练习。-你还有科普作业吗？没听过，呵呵。但是想想看？学完这个练习，论福利，可以毁了？朋友和他们的。哈哈。
三、如何解读范畴中的1+1？
好了，真正的挑战或者说毁灭来了，我们终于可以看看1+1是什么了。还有“1”？样本，“1+1”也会有很多不同的代表。比如两个苹果还是两个？香蕉，等等。那么“1+1”应该是什么呢？应该是所有这些代表的本性，也就是万物的本性。下一个？我们将揭示“1+1”的普适性。我先擦擦汗。
是时候动动脑筋了。
这就是“1+1”的普适性和定义。如果我们。图来记录？1+1的定义或普适性，那么它是什么？这就是所谓的东方的“交换图”？。
所谓图形交换的意思是:
。为什么这个定义被称为1+1？这真的很难解释。主要要说明的是一点？许多，你能留下来锻炼吗？我们不是还有很多优势吗？读者？你说了算我崩溃了吗？来吧，需要休息，休息？什么事？。
休息，休息？下面的
我想指出的是:
(1)虽然我们没有规定A和B必须是什么，但是普适性导致A和B不能任意选择。不一样的a和b满了？普适性的选择会被视为不同1+1的代表！也就是说1+1的定义需要三个东？:(1+1，a，b).
(2)满？1+1的定义集合唯一吗？是的(所有代表)，但是存在性和唯一性？性别使得他们的任何两个代表之间有一个奇点。什么事？善良？类型对应。这个？观点挺重要的，但我不是很想展开。也许我也需要读者的接触？来解读。
(3)万物的本质是什么？奇妙的土地？是的，它不仅定义了概念，还告诉你它是怎样的。是的，是吗？来构造只存在的箭头！？这是唯一的吗？什么事？法！这个？点？什么都没有？你通过了吗？很难理解。这个集合定义并对应于？于？身体的特征也有力地证明了这一点？很好的定义。
作业1:我们定义了2还是“+”？
如何定义作业2: 1+1+1？
如何定义作业3: 1x1？(提示:反转图中定义1+1的所有箭头)。
作业3相当有趣。箭头可以反过来吗？实际上，这意味着乘法是加法的对偶概念。分类研究？迫降？你是说数学？所有的概念都是这样的！数学？只有两个概念:？这个物种叫做“极限”(？比如1 x 1)，？该物种被称为“剩余极限”(？如1+1)。没别的了。哈哈。所以分类把数学里的概念都放进去了？一个系统？看框架。
读者可能会感到奇怪，这怎么能被称为“极限”而不是极限呢？答？有限(近似)过程？其实呢？家里人熟悉的所谓“极限”只是一个？有限节点交换图，和1+1或者1 x 1一样？类型来定义概念？已经开始了。？例如，对于构成下图的任何实数x，我们有:
普通意义上的“1”在哪里？一个实数(不要理解为集合)，箭头表示“≤”(？等于)(不是集合之间的映射！)。这张图说明了什么？0.9，0.99，0.999的极限，...就是1。？分类语言？也就是说1是0.9→0.99→0.999的互补极限→...
你怎么想呢?x是这样的？实数，每个序列0.9，0.99，0.999，...多达x？箭头，这意味着序列0.9、0.99、0.999，...大家都≤ X？1是这样的？号码？而最？那个？a对吧？
所以分类是？里面有你熟悉的微积分，但是她能做的更多！其实范畴化在概念上是统一的？分析与代数，统一？在离散化和连续性方面，1+1和传统意义上的极限没有本质区别，但是交换图涉及到哪些方面呢？你有。
作业四:如果箭头的含义改为“≥”，说明上图中的箭头是反的。在范畴化的意义上，我们得到“1”。图表的极限。
另外，你还应该注意到，类别中的箭头可以是任何可能的关系而不是映射。？如果“≤”，那么？比如在全中国？我和作文的范畴无关，但是如果我们追求的都一样呢？答？孩子？这样我们就有了情敌的关系，也可以是范畴内研究的关系。这个例子？你可以想象，但是很多时候，范畴科学中出现的所谓“相互关系”是很奇怪的，甚至？是不是超乎想象？是的。
四。类别、物理和计算
我想？一定有？我觉得自己疯了。1+1好复杂。我想强调的是，这个故事并不“复杂”。是1+1的原。但是，读者也可以反对“去范畴化”真的存在？1+1如果这么复杂，那就没办法轻松计算了。那么怎么才能这样理解1+1，即使是原创呢？然后呢。
这个1+1的定义真的很复杂不真实？但这是？杀鸡，当然看不到？你量过了吗？现在你可以杀人了？剪人群？。其实分类就是研究？有限维数学结构的有力工具在哪里？她吗？量真的可以透露出来。？如果你是在研究量？使用多体系统时，能量差距是多少？多体系统的边界和内部之间的关系可以从？这个普遍性质被定义[2]。
这张图是什么意思？你什么意思不重要。重要的是，你发现了吗？有吗？穷？在维度的复杂物理系统中，边界和内部之间没有关系。1+1和1的关系比较复杂！这是因为分类是可行的吗？将有限维数学与？一个有限维度的数学系统？在同一个？框架下的处理。值得吗？我说的是，走？图表揭示的关系也刻画了弦理论中开弦和闭弦的二元性！这些都是？有限维数学结构之间的对偶。如果真的把对偶两边的数学结构元素和它们的关系写下来，会不会复杂得要死？是的。哈哈。
玩？在PK还原论的今天，范畴化越来越重要。这是因为分类是为了演戏吗？关于准备。你看“1+1”，不就是所有收藏里的吗？这个概念？同理，所有的数学概念都包含在内？在图表中的“所有”对象在某种意义上？的对象。什么？分类主义强调放弃还原论，不要问？集合的元素。要看映射，后者更丰富。？比如？一套X？这个元素其实是1对x？一张地图
这个观点不就是加速器的原理吗？想了解颗粒？东方是什么？，就走另一条东？，什么？是“它”。去敲它。我想知道微积分对于还原论的物理学有多重要，范畴又是如何发挥作用的？谈论物理是多么重要。范畴化的基础是什么，物理学家对自然的理解是什么？方法和原则是完全一致的，它们都强调:
没有吗？相互关系还是相互作用？更基本的存在，其他都是演戏？是的。
范畴化和物理学的关系当然值得？专门的书，很多前沿理论？一直在谈论这种关系。这个？我们到了吗？虽然我意犹未尽，但我只希望我能扔一块砖？，诱导？家庭兴趣。
如果范畴在数学里？很基础，那么应该是物理还是其他学科的基础？现实是，在物理学中？上流社会可能只有几类？答？常的话题。这是为什么呢？这是暂时的还是？龙？类别社会会带来新的微积分来描述物理吗？分类对未来计算机科学有什么影响？Bit(0和1)用于图灵计算，qubit(2维线性空间)用于量子计算。分类的道路是从数字到线性空间，到1阶范畴，到2阶范畴，到高阶范畴。那么我们可以想象未来会有1阶类别计算和2阶类别计算吗？希望以后有机会能解读这些问题。
你喜欢分类吗？欢迎吗？家来到品类的奇妙世界。
附录
在本章的最后，我们来谈谈学习范畴化的过程。困惑和误解。
很多吗？(包括一些数学家)都抱怨分类的抽象。我希望之前？讨论有帮助吗？经济学家意识到我们思考的日子？这是一项分类研究。引用？“1”、“2”等抽象概念是反-？就是“去范畴化”。我们的数学教育从何而来？开头是“去范畴化”。普通微积分可以算是“去范畴化”的经典。最终的结果是，我们？多数？第一个？下次学“类别学”会让你觉得自己很“抽象”，呵呵。可能是因为“去范畴化”的数学教育让我们失去了童真。我记得有？第二次我做数学报告时，一些听众抱怨分类太抽象了。我说，什么是抽象？一个毫无意义的概念，但是你所谓的非抽象的东方？这是什么？他回答？和上面一样的调子。天啊，同源是抽象的吗？好吧，我能忍？说真的，为什么觉得同源不抽象？他说，因为它会数数。我说，可以算，但不抽象。在这种情况下，范畴化不是抽象的，因为它也是可以计数的。不过没关系，因为这种说法本身就很可笑。如果同源性可以算的话，也不比1+1=2好吧？那什么是“1”？我们通常所说的所谓“非抽象”或“抽象”，其实就是“熟悉”或“不熟悉”。范畴化之所以“抽象”，是因为我们正在走向“去范畴化”？时间久了，也没那么容易回了。很难放下包袱。
我记得有？我和物理学家迈克尔·莱文共进午餐。他说他花了很多时间看分类研究，但总觉得分类研究是空洞的，好像什么都没有。他觉得对，当然不止他一个？答？这样抱怨。其实范畴和集合论是不是？东方底样？。就像你去看集合论一样？样本，除了？一些形式的定义，好像什么都没有。对于物理学家，看集合论？几乎没有？地方，真的有吗？我的专业是微积分和线性代数。所以只有看到范畴的“微积分”和“线性代数”才能明白它的强大？。我想格罗滕迪克的代数？大致可以算是什么？新的“微积分”？张量范畴理论可以看作是？一种新的“线性代数”即“微积分”(或“线性代数”)的范畴不是唯一的。是的？千变万化。对物理最感兴趣？“微积分”“线性代数”可能还没诞生？。与集合论不同的是，对于物理学家来说，集合论完全可以忽略，直接跳到微积分和线性代数，因为集合论的语言？以及基本功能主义的语言？已覆盖。但是对于分类，想跳过她的基础语言？:类别，字母？、?直接用自然变换和Yoneda引理是不可能学会她的“微积分”和“线性代数”的。可惜，要？之前？，还没有？一本适合物理学家的分类书。
还有什么？误解是已经建立了分类？好吧，你学会了吗？这一类的数学书在物理上应该怎么做？可能就够了。如果你拿着这个？状态，那么你注定要失望。？第一，把任何(无论多么美好的)数学集？从物理观念到命运的一切？求？诊所。仅仅来自物理实验还是物理图像？发现的数学对物理学有意义。如果恰好这个数学被数学家发现了，那只是偶然？已经开始了。没有现成的通往未知的钥匙。物理到底需要什么类别的学习？大部分还不存在。需要我们去吗？一边发展物理，一边发展数学。在这种情况下，新物理和新数学没有区别，都是天然的隐藏结构。分类还在初级发展阶段，微积分还能发展？一百年后，类别？你需要它吗？一百年了。？我这些年的实践告诉我，物理能给我们带来超出数学家想象的新东西？科学这个范畴真的很宏伟。
表示感谢/感激
感谢德国哥廷根？学朱吗？老师，清华？学习？研究所的王中？数学老师和丘成桐？什么事？哎？分部，南分部？数量？科学和？程研究院的吴永石？老师和郑浩呢？马萨诸塞州的组织。大学里的那帮人？中国科学院物理研究所曹则贤老师？老师和斯坦福？你学过小梁潇吗？老师提出的很多有价值的想法？。
给…作注解
[1]我们还在吗？开始了。“魏？”这个概念似乎是“1”的循环定义。其实技术上是可以避免的。例如，我们可以说万物中由映射(使图可交换)组成的集合对集合{O}存在双射，或者说如果h和h '使图可交换，那么h=h '(感谢知乎网友王英杰和凝焰)。我们的地方？我不想讨论数学的基础。是作秀吗？1和1+1的新解读。而是从万物的本性出发，不断地？“是”与“是？”如你所见，在？哲学意义上的“魏？”可能和“存在”是同一个基本概念。