我的第一本科普书——《从一个到无限》札记
原文摘录
①对比示例
其实在一个无限的世界里，部分可能等于整体！
②比较法
这就是康托尔提出的比较两个“无穷数”的方法:我们可以将两组无穷数配对，每组中的一个元素对应另一组中的一个元素。如果它们最后恰好是一一对应的，并且在任何集合中都没有冗余元素，那么这两个数大小相等；
无限数学的创始人格奥尔格·康托尔建议我们可以用希伯来字母？(aleph)来描述一个无穷数，字母右下角的角标代表该数在无穷级数中的位置。
时至今日，几乎所有的纯数学分支都成了科学家解释物理世界的工具，包括那些人们曾经认为过于纯粹而没有任何实用价值的理论，如群论、非交换代数、非欧几何等。然而，即使在今天，数学领域仍有一个庞大的体系始终坚守着“无用论”的崇高地位。它唯一的作用就是帮助人们锻炼智力。这样的超脱，绝对配得上“纯洁之王”的称号。这个体系就是所谓的“数论”(这里的“数”是指整数)，是最古老、最复杂的纯数学思想之一。奇怪的是，虽然数论确实是最纯粹的数学，但从某种角度来说，它是一门基于经验甚至实验的科学。
其实数论的大部分命题都来自于实践——人们试图用数字做各种事情，然后得到一些结果，从而形成一种理论。这个过程和物理学没什么区别，只不过物理学家试图处理的是真实的物体，而不是理论上的数字。数论和物理学还有一个相似之处:他们的一些命题已经得到了数学证明，但另一些还处于实证阶段，等待最杰出的数学家来证明。
1)哥德巴赫猜想
所以我们到现在也没有列出一个只能计算素数的通用公式。数论中还有一个有趣的问题，既没有被证明，也没有被证伪，叫做“哥德巴赫猜想”。这个猜想是在1742中提出的，声称任何偶数都可以表示为两个素数之和。[
②素数平均分布定理
素数平均分布定理是整个数学领域最重要的发现之一，可以简单地表述为:在1到任意大于1的自然数n的区间内，素数的百分比大约等于n的自然对数的倒数，n越大，这个公式的结果越精确。
③费马大定理
费马在页边空白处写了一个简短的注释。他提出方程x2+y2 = z2有无穷多个整数解，但对于方程xn+yn = zn [22]，如果n大于2，那么方程无解。
证明了方程x3+y3 = z3和x4+y4 = z4不可能有整数解。狄利克雷证明了x5+y5 = z5没有整数解，而在其他几位数学家的努力下，我们又证实了只要n小于269，这个方程就没有整数解。
④虚数
人们选择了卡尔达诺使用的一个修饰语来命名这样一个数，所以现在称之为“虚数”。自从虚数诞生以来，数学家们开始越来越频繁地使用这个概念。
对于这样的数字，或许我们只能说它们不是零，但它们既不大于零，也不小于零，所以它们完全是虚构的数字，或者说是不可能的数字。
以此类推，每个实数都有对应的虚数。也可以把实数和虚数组合成一个公式，写成(略)的形式。卡尔达诺发明的这种混合表达式通常被称为复数。
直到两位业余数学家给了它一个简单的几何意义，虚数才被证明是正当的。
我们所习惯的三维空间，可以和时间结合起来，形成一个符合四维几何的统一坐标系。
省略
①简介
没有对称平面的物体可以分为两类——左手和右手。
一个蜗牛壳上的螺纹是顺时针的，另一个是逆时针的。甚至构成所有物质的基本粒子(所谓的“分子”)也往往有左旋和右旋的形式。比如糖有左旋和右旋两种形式。信不信由你，以糖为食的细菌有两种，每种细菌只能吃相应手性的糖。
②两者如何转换？
但是，如果你让一头驴离开飞机，把它在空间翻转180度，然后让它回到飞机，那么它就会变得和另一头驴一模一样。以此类推，我们可以说，如果让右手避孕套离开三维空间，在第四维以合适的方式翻转，然后让它回到我们的空间，那么它也可以变成左手避孕套。
而是所谓的“莫比乌斯面”。这个曲面的名字来自于一百多年前第一个研究它的德国数学家。做莫比乌斯面很简单:拿一张长纸，绕成一个圈；然后将纸条的一端扭转180度，最后将两端粘在一起。看看图23，你就知道该怎么做了。莫比乌斯平面有很多奇怪的特征，其中一个很容易发现:拿一把剪刀，沿着平行于莫比乌斯平面边缘的方向，完全剪开(如图23箭头所示)。当然，按照你的预期，我们最终应该会得到两个独立的戒指。但是做了之后你会发现你错了:我们不是剪了两个环，而是剪了一个大环，比原来长了一倍，宽度却只有1/2！
影子驴在莫比乌斯上行走会发生什么。驴子发现自己进退两难，不知怎么就分崩离析了！当然，它可以翻身，重新站起来，但那样的话，它就会变成右边的驴子。简而言之，我们的“左”驴在绕过莫比乌斯带后，变成了“右”驴。
在一个扭曲的表面上，一个右手的物体只有通过扭曲才能转变成左手的物体，反之亦然。莫比乌斯环实际上代表了另一个更普遍的曲面的一部分，即克莱因瓶。
但你再仔细想想，就会发现第四维并不神秘。事实上，有一个词我们大多数人每天都在使用。它可以被视为，或者实际上是物理世界中的第四维。这个词就是“时间”。
在四维时空几何中，代表每个独立物质粒子生活史的线称为“世界线”。同样，组成复合对象的一束世界线称为“世界带”。
因此，如果我们能找到一个公认的标准速度，我们就可以用长度的单位来描述时间跨度。
通过“光年”这个术语，我们把时间变成了一个实用的维度，时间的单位也因此变成了一个可以用来度量空间的单位。反过来，我们也可以创造另一个术语“光英里”，来描述光传播1英里的距离所需的时间。利用上面介绍的光速值，我们可以计算出1光英里等于0。0000054秒。
我们只需要推广毕达哥拉斯定理来计算四维距离；研究事件之间的物理关系，四维距离是比独立的空间区间和时间区间更基本的值。
空间和时间的区别被完全抹去，这意味着我们承认空间可以转化为时间，反之亦然。
我们可以把第四坐标定义为一个纯虚数。
既然我们认为空间距离永远是实数，时间距离永远是纯虚数，那么不妨说实数的四维距离与普通空间距离关系更密切，虚数的四维距离与时间间隔关系更密切。在闵可夫斯基的术语中，第一个四维距离称为“空间”，第二个称为“时间”。
类空距离可以转化为普通空间距离，类时距离可以转化为普通时间间隔。但是，这两个距离是真实的，也是想象的，两者之间有着不可逾越的屏障，所以无法相互转化。正是因为这个原因，我们不能把尺子变成钟表，反之亦然。
省略
相同:
这是卢瑟福模型。
不同:
根据现有的物理学知识，如果一个原子的内部结构真的和行星系统一样，那么它只能持续十亿分之一秒。换句话说，这样的原子不可能长期存在。然而，虽然我们在理论上提出了如此悲观的前景，但现实告诉我们，原子结构是非常稳定的，原子内部的电子快乐地、不知疲倦地围绕着中央的原子核打转，从来没有损失过任何能量，也没有坠落的迹象！
电子不围绕原子核旋转，卢瑟福的模型是不正确的。
(1)核子和电子
虽然已知的物质有很多种，但实际上是两种基本粒子的不同组合:1。核子，物质的基本粒子，可能是电中性的(中子)，也可能带正电荷(质子)；2.电子，自由负电荷。
其实自然界也有正电子，和带负电荷的普通电子很像，只是电性质相反。带电质子也可能存在，但物理学家还没有探测到这种粒子。在我们的物理世界中，正电子和负质子(如果存在的话)并不像负电子和正质子那样普遍，因为这两组粒子“相互对立”。众所周知，如果两个电荷的电性相反，一旦接触就会互相抵消。所以，由于正电子和负电子分别代表正负自由电荷，所以它们不可能存在于同一个空间区域。这样的湮灭会在相遇的地方产生强烈的电磁辐射(γ射线)，两个电性相反的电子被“湮灭”的过程和被强烈的γ射线凭空“创造”出一对电子的过程互为镜像。
据我们所知，宇宙中可能存在由反物质构成的行星系统。如果把太阳系的一块普通石头扔进反星系，或者反过来，石头一落地就会变成原子弹。
②中微子
中微子的存在是从数学中的反证法推导出来的。这个令人兴奋的成就并不是从人们发现的东西开始的，而是我们在一些物理过程中发现了一些缺失的东西。这些“缺失的东西”就是能量。
人们一度认为这是能量守恒定律失效的第一个实验证据，但泡利提出，这个偷走核能的“巴格达大盗”可能是一种假想的粒子，叫做中微子，它没有电荷，质量小于普通电子。
现有的任何物理设备都无法探测到这种不带电的光粒子，它可以轻易穿透任何物质。要阻挡可见光，薄薄的金属膜就够了；对于穿透力更强的X射线和γ射线，几英寸的铅就能显著降低它们的强度；但是中微子束可以轻易穿过几光年厚的铅层！难怪我们无论如何也观测不到中微子。
③小结——粒子间的转化
中微子可以与电子结合，形成我们在宇宙射线中观察到的不稳定介子。它还有一个不恰当的名字，“重电子”:
④更多。
省略
省略
①温度和热运动
布朗运动实际上是物质不可见热运动的结果，我们通常所说的温度实际上只是衡量分子热运动强度的一个标准。
当温度达到。273℃(即？459℉)，也就是绝对零度，物质的分子会完全停止热运动。
而如果温度继续升高，连分子本身都有危险，因为越来越剧烈的碰撞会把分子撕成原子。这种热分解过程取决于分子本身的强度。有些有机分子会在几百度的“低温”下分解成独立的原子或原子团，但其他更稳定的分子(如水)则需要一千多度的高温才能坍缩。但是没有一个分子能在几千度的高温下存活。在这样的高温环境下，物质会变成纯化学元素组成的气态混合物。
如果温度上升到几十万甚至几百万度，这种热电离过程会越来越明显。这样的极端高温超过了我们在实验室所能达到的上限，但在恒星中很常见，尤其是在太阳中。即使是原子也无法在如此炎热的环境中生存，其外层电子将全部被剥夺，物质最终将变成裸核和自由电子的混合物，电子将在空间中高速运动，并以极其强大的力量相互碰撞。
我们至少需要几十亿度的高温来利用热量彻底分解物质，将原子核分裂成独立的核子(质子和中子)。虽然我们还没有在最热的恒星中发现如此高的温度，但它很可能存在于数十亿年前的年轻宇宙中。
②热运动和无序规律
热运动的完全不规则特征可以用一个新的定律来描述，我们称之为无序定律或统计行为定律。要理解这个尴尬的描述，我们不妨看看著名的“醉翁之意不在酒”问题。
这个公式的意思是，一个醉汉在随机转弯无数次后，离路灯柱的最大可能距离，等于他走过的每条直线的平均长度乘以线段数的平方根。
但是，如果大量的醉汉从同一个灯柱出发，互不干扰，那么你会发现，经过足够长的一段时间后，所有的醉汉都会分布在灯柱周围的一定区域内，我们可以用刚才介绍的方法计算出他们与灯柱的平均距离。
①简介
物理系统中的任何自发过程，必然会朝着熵增的方向发展，直到最终达到熵最大的平衡态。这就是著名的熵增定律，也叫热力学第二定律(第一定律是能量守恒定律)，熵增定律也叫无序增定律。
②误解
1，生命的存在似乎完全违背了熵增定律。
植物利用来自阳光的负熵(序)，以无机化合物为原料构建自己的身体；动物只能吃植物(或者其他动物)，通过这种方式获得负熵。
2、
但是为什么一台普通的蒸汽机可以将热量转化为运动而不违反熵增定律呢？玄机在于，蒸汽机只是利用了燃料燃烧产生的部分能量，更多的能量以废气的形式排出，或者被专门安装的冷却设备吸收。在这种情况下，整个系统的熵发生了两个相反的变化:1。一部分热量转化为活塞的机械能，这是一个熵减的过程；2.锅炉的另一部分热量流入冷却设备，这是一个熵增的过程。熵增定律只要求系统的总熵增加，只要后一部分增加的熵超过前一部分减少的熵。
3、
再举一个例子，可以帮助我们更好地理解熵增定律。假设在离地面6英尺的架子上有一个5磅的重物。根据能量守恒原理，这个重量没有外力是不可能自己跑到天花板的。另一方面，它可能会将一部分重量扔到地板上，从而获得能量，让其余的飞起来。同样，我们可以允许系统局部区域的熵减少，只要其余部分的熵增加足以补偿差异。换句话说，我们确实可以让系统中某些区域的分子运动更加有序，只要我们不在乎这个操作会让其他区域的分子运动更加无序。
①简介
事实上，空气分子在微观尺度上的分布并不均匀。如果你放大足够的倍数，你会看到气体中的分子不断聚集成小集团，然后迅速分散，但类似的分子集团会出现在其他位置。这种效应被称为密度波动。普通液体也有密度和压力的波动效应，但看起来没那么明显；
②案例1——为什么天空是蓝色的？
天空之所以是蓝色的，一部分原因是大气散射来自悬浮尘埃，大部分是密度起伏引起的分子散射。
按理说纯净的天空是极其均匀的，不存在分子多的“天蓝”。就像一面很平的镜子，只折射或反射，很少散射。在均匀的环境中，不同分子的散射相互抵消。但正是因为密度涨落效应，“空气中有不可避免的杂质，也就是空气本身的波动。”密度波动对太阳光的散射形成了蓝天。
③案例二——为什么水烧开后是乳白色的？
所以我们可以用另一种方式来描述布朗运动:水中的悬浮粒子之所以被推来推去，是因为它们在不同方向上受到的压力总是在快速变化。当液体被加热到沸点附近时，密度波动变得更加明显，使液体看起来略呈乳白色。
生命虽然复杂，但本质上与普通的物理现象和化学现象没有区别，所以我们很难划清生命与非生命的界限。
从周围介质中提取原材料，生成与自身相似的结构单元。这些病毒粒子既是普通的化学分子，也是生物，因此它们是生物和非生物之间“缺失的一环”。
基因的确是最小的生物单位(每个独立的基因大约由654.38+0万个原子组成)。基因似乎是生物和非生物之间缺失的一环。
①遗传特征
色盲的遗传特征需要受到两条染色体的影响才能表现出明显的性状，所以我们称之为“隐性遗传特征”
“显性遗传”正好和隐性遗传相反，这种遗传特征只需要一条染色体就能受到影响。
除了显性遗传和隐性遗传，还有一个“中性”的遗传特征。
当然，即使在最先进的显微镜下，所有的基因看起来仍然是相似的，它们不同的功能深深隐藏在分子结构内部。
②其他
但在分裂开始前，成对的染色体往往是纠缠在一起的，所以可能会有部分交换。这种杂交(如图99a和B所示)将导致双亲基因序列的混淆，从而产生混合遗传性状。
相互独立又互不影响的字符在染色体上一定相距很远。
如果只用一只眼睛，很难判断针鼻与线头的距离；但是如果两只眼睛都睁着，你就可以很容易地把线穿过针鼻，或者至少很容易学会。用两只眼睛观察一个物体时，你会不自觉地让两只眼睛同时聚焦在一个物体上。
你可以试着先闭上一只眼睛，然后换另一只眼睛。你会发现物体(这里是针)的位置相对于远处的背景(比如房间对面的窗户)发生了变化。这种效果就是视差位移。
物体越远，视差位移越小，我们可以用这个来判断距离。
1，我们其实不需要做一个能把你的眼睛拉那么远的设备，比如左眼在华盛顿，右眼在纽约，从这两个城市同时拍摄星空背景上的月亮就可以了。把这两张照片放在音响里。
2、利用地球本身的大小来测量地球轨道的大小。
3.用轨道的大小来测量恒星间的距离(当然这意味着我们要等半年才能完成两次观测，何乐而不为呢？)
如果更远呢？
1，基于脉动星的测距方法
哈佛大学的天文学家哈罗·沙普利发现了一种新的“尺子”，可以测量遥远恒星的距离。就是所谓的脉动星，或者说造父变星。
如果你发现一颗距离超过视差位移测量上限的造父变星，那么你只需要通过望远镜观察它，记录它的脉动周期，然后计算出它的实际亮度；把你观察到的亮度和它的实际亮度对比一下，你一下子就知道它离你有多远了。利用这种巧妙的方法，沙普利成功测量了银河系中那些非常遥远的距离；这种方法在估算银河系的大致尺寸时也特别有用。
2.其他人
现阶段，我们只能根据星系可见的大小来判断它的远近；根据以往的经验，所有同类型的星系大小都差不多，和恒星有很大的区别。如果你知道世界上每个人都是一模一样的身高，没有高个儿，也没有矮个儿，那么你就可以通过你看到的一个人的身高来判断他和你的距离。
这颗星球的主体还处于融化状态，我们经常随口提到的“固体地球”只是漂浮在熔岩上的一层比较薄的地壳。证明这一点最简单的方法是测量地球不同深度的温度；于是我们发现，深度每增加一公里，温度就会上升30℃左右。
在世界上最深的矿井(南非金矿罗宾逊深矿)里，井壁滚烫滚烫。为了防止矿工被活活烤死，矿井必须安装空调。
事实上，新生的地球是一个纯液体球体。从那以后就慢慢冷却了。我们现在看到的只是这个星球生命历程中的一个特定阶段，而在遥远的未来，地球总有一天会完全固化。