高等数学中多元函数微分学中的最大值问题

轻松学习微积分的书评

1

书评的起源

去年5月，作者得到了科学出版社编辑(教师)张中行赠送的《轻松学微积分》一书。出于对书名的好奇，作者一口气看完了这本书，觉得读起来真的很“轻松”。微积分是大学理工科专业的必修课，这样的课程也叫“高等数学”。所谓微积分，包括微分学和积分学，在处理很多实际问题中起到了很好的作用。所以对于理工科专业的学生来说，学好微积分是非常必要的。

毫无疑问，市场上显然有各种微积分的教材和科普书籍。那么，自然的问题是，为什么这本书的作者卓永红先生要写这样一本“简单易学”的微积分教材？

关于这个问题，作者曾在序言中发表过这样的观点:

“笔者深感，很多人微积分这门学科成绩不理想的原因，往往不是因为天赋差或者学习态度不好，而是因为没有把握住微积分各种题目的核心精神，停留在抽象符号的运算上，所以进不了门。”

确实如作者所说，目前很多微积分教材往往侧重于数学符号和公式的简单罗列，而未能将微积分中的一些定理直观地展现给读者。长期以来，很多人讨厌微积分，甚至说一辈子都不想看到牛顿和莱布尼茨的导数符号。

然而，解决这个问题并不那么容易，本书作者试图借助他对微积分的“通俗易懂”的解释来缓解这种糟糕的局面。

2

这本书的特点

细看这本书，发现它有以下几个特点:

(1)用数学史介绍微积分

目前很多微积分教材主要是讲解数学结果本身，所以大多是以“定义-定理-例题-习题”的模式介绍，很难引起读者的阅读兴趣。本书的特点之一是交替介绍数学史，通过数学史的介绍，达到数学与历史的有效融合。值得注意的是，本书每一章的开头，都会有一段数学家或者其他领域大家的名言。例如，在本书的第二章“微分学”中，就有哲学家伏尔泰对微积分的深刻见解:

"微积分是一门精确计算和测量无法想象的事物的艺术."

虽然在很多人看来，数学家的名言并不能帮助他们理解那些看似枯燥的数学公式，但需要特别注意的是，这些领军人物的观点往往能帮助他们快速理解一门学科的本质内涵。当然，在这本书里，通过在每章前放上名言名句，可以有效地奠定这本书的主题(没错，你看的是微积分书！)。

此外，作者在本书中还花了大量时间阐述了一些关于微积分的数学史料，如历史上牛顿与莱布尼茨的版权之争、最速下降线问题、洛必达与伯努利的故事等。即使这些都是微积分中的经典事实，但作者不落俗套，用自己独特幽默的语言列举这些旧事，让作者觉得有一个有趣的数学老师在教微积分的历史。另外，细读作者的文字，可以看出作者有很重的台湾口音(比如书中174页中间文字“其实这两种拼法在法语中是等价的，都可以用！”)，所以可以理解为具有台湾省特色的微积分史。

(2)详细展示处理问题的解题思路。

微积分的本质是微分学和积分学。其中微分学部分涉及导数和可微性的概念，涉及的数学定理有费马大定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。这些数学定理也帮助广大学习微积分的学生了解了国外的一群数学家:费马，拉格朗日，柯西。积分的理论部分主要涉及黎曼积分，与数学系实变函数课程中的勒贝格积分不同。

对数学理论的掌握主要体现在数学分析上，而这本书的目的是为了轻松地学习微积分，所以自然会以数学计算为主要讲解目标。比如函数的导数怎么算？一个函数的不定积分和定积分怎么算？如何计算一个二重和三重积分？这些都是微积分教学要解决的关键问题，理论证明处于次要地位。

这本书的另一个特点是作者用自己的通俗语言和思维方式展示了解决问题的关键思路。

比如作者在证明函数极限问题时，一步步介绍如何运用数学技巧达到最终目的。比如有的习题需要分子合理化，有的习题需要三角不等式。比如在《例1.4.12》一书中，作者写了这样一段话:

“接下来，用一个小把戏看清楚。这叫三角不等式。”

不知道的读者以为误入了武侠小说。怎么会有什么猫腻？其实数学圈本身也可以算是一个小江湖，这里用来做题的招数也是数学里的武功秘籍。笔者曾有一个不恰当的观点:“数学技能如手势，数学思想如内功。”。如果用在这里，那么三角不等式真的是一个招式，只是一个简单的手势。

(3)善于用图表将数学概念形象化。

第一次看这本书的时候，很难不被作者做出的精美几何图像所吸引。在微积分中，形式上的符号运算难免让人感到厌烦，很少有人愿意一直和数学公式打交道。其实如果你了解生物学的期刊论文，不难看出他们的文章都是“看图说话”。其实数学应该是这样的。据说数学家之间讨论学术问题的时候，往往会先画一个图，然后根据图来补上相应的数学描述。

在这本书中，令人惊叹的图形自然是二维或三维几何图像的绘制。尤其是当我们遇到二重积分和三重积分的问题时，如果有更直观的几何图像来帮助我们理解问题，那么我们就达到了化繁为简的目的。其实这本书里的插图实在太多了，有直观理解数学概念的效果就不用说了。

用乳胶精心排版书籍

我刚拿到这本书不久，就对这本书的版式感到满意。除了对作者的排版技巧感到惊讶之外，这本书的编辑张中行先生告诉笔者:“作者卓永红先生是一位tex排版大师，也是她迄今为止所认识的第二位实力派人物。”此外，张老师还补充道:“除了不能很快的画图，基本就是上课笔记老师带着讲课笔记的排版速度。”

虽然笔者从未见过卓永红先生，但通过阅读这本书的排版和张中行先生的描述，我断定我说的肯定是真的(毕竟数学家是严谨的！)。

这本书在LaTeX排版上真的很有技巧，可以和其他LaTex玩家相比。一个显著的事实是，作者在本书的解题过程中插入了许多箭头，在各种定义、定理、性质的编排上独具风格。笔者认为，国内很多数学书籍的排版必然会借鉴这本书。

三

写在最后

关于《易学微积分》这本书，列举的特点只是书中的一部分优点，其他优点需要读者自己去发现。这本书的一个缺点自然是这本书没有继续介绍曲面积分和曲线积分的理论。这本书共分十二章，然而第12章只介绍二重积分和三重积分，所以在我看来，这对于想学微积分的同学来说是不够的。

作者也是学数学的，写书评价数学老师有些不妥。所以，这里是上师大数学系老师陈悦曾经告诫笔者的一句话的结尾:

“看书的时候，把自己想象成作者本人。写的话，能写吗？为什么要这样写？”

四

编者按

朱晓先生太谦虚了。朱晓先生是同济大学数学科学学院的研究生。感谢他学习研究后对《微积分小书》的书评。《轻松学微积分》详细书籍信息如下图，献给喜欢微积分和学习的你~

内容简介

轻松学微积分。

作者:卓永红

轻松有趣的微积分读物。

适合受众:对微积分感兴趣，想了解微积分的人，想提高数学素养的文科生，上课备考觉得微积分很难学的学生，其他想了解微积分的读者。

这是一本教读者轻松入门微积分的书，也是一本适合自学的轻松简单的书。轻松学微积分语言轻松幽默。通过大量贴切具体的图形图像，尽可能生动地介绍微积分各种学科概念的由来，将中学数学与高等数学完美衔接，中间穿插数学史，还原数学思想的脉络。还有常见的关于高等数学符号的趣谈，加深读者的学习印象，了解微积分发展的来龙去脉。作者总结多年微积分教学经验，尽可能使用简单易懂的语言，总结学习方法和实用规律，指出常见错误和学生盲点，提供详细的解题技巧，并穿插一题多解，开阔视野，帮助读者轻松愉快地从更高的角度把握微积分的具体知识点，让读者对微积分有更清晰的认识。本书特别介绍了中国古代数学和古代数学思想，让读者在轻松介绍微积分的过程中，也能体会到中国古代哲学家对数学的贡献。

图书目录

目录

第1章极限和连续性

1.1微积分的起源1

1.2序列的极限5

1.3连续函数和函数的极限16

1.4极限30的严格定义

1.4.1极限的定义30

1.4.2由极限定义35证明

1.5连续函数的性质40

1.6自然指数和自然对数45

1.6.1自然指数45

1.6.2自然对数48

1.6.3利用E的定义求解极限49

趣谈1.6.4 e 52

1.7等价无穷小代换56

1.7.1动机介绍56

1.7.2无穷小级配57

1.7.3等价无穷小代换58

1.8渐近线63

1.8.1水平渐近线64

1.8.2垂直渐近线66

1.8.3斜渐近线67

第二章微分学

2.1导数定义73

2.2幂函数导数和导函数的性质80

2.3三角函数和对数函数的导函数91

2.4高阶导数96

2.5连锁规则99

2.6单边衍生工具103

2.7隐函数111的求导

2.8反函数117的求导

2.9对数导数法122

2.10参数推导125

2.11差分131

第三章微分学的应用135

3.1切线和法线135

3.2可变利率问题140

3.3函数143的单调性和凹性

3.3.1函数的单调性143

3.3.2函数147的凹凸性

3.4极值问题153

3.4.1一阶验证方法155

3.4.2二阶验证方法157

3.5绘制函数图160

3.6微分中值定理165

3.7洛必达法律170

3.7.1洛必达法则170使用介绍

3.7.2关于洛必达规则176滥用的讨论

第四章积分学181

4.1整数181的定义

4.2整数191的基本性质

4.3微积分基本定理196

4.3.1微积分基本定理第一部分196

4.3.2微积分基本定理第二部分200

4.4不定积分202

4.5曲线之间的区域206

第五章积分技能211

5.1部分积分211

5.2变量替换217

5.2.1第一种替换方法217

第二种替代方法223

5.3三角形替换225

5.4有理函数的积分:部分分式法232

5.5三角函数的积分243

5.5.1三角函数的幂243

5.5.2含有sin(x)和cos(x)的有理式252

5.5.3巧妙兑换人民币254

5.6不当积分256

5.6.1第一类反常积分(无界积分范围)256

5.6.2第二类反常积分(无界函数)259

5.6.3反常积分的敛散性261

5.7积分技能杂谈265

第六章积分学的应用276

6.1曲线弧长276

6.2找到卷283

6.3旋转体的体积287

6.3.1磁盘方法287

6.3.2脱壳方法291

6.4旋转体295的表面积

第七章特殊功能299

7.1双曲函数299

7.1.1双曲函数的定义299

7.1.2双曲函数的基本公式302

7.1.3双曲函数306的导函数

7.1.4反双曲函数306

7.65438的导函数+0.5的反双曲函数308

7.1.6双曲函数在大一微积分309中的应用

7.2伽玛函数310

第八章无穷级数313

8.1无穷级数313的敛散性

8.2积分收敛法321

8.3比较和收集方法326

8.4比值收敛法和根收敛法331

8.5交错级数收敛法335

8.6条件收敛和绝对收敛341

8.7动力系列349

第九章泰勒传播356

9.1泰勒展开式:多项式逼近函数356

9.1.1泰勒展开式356

9.1.2间接膨胀法360

9.2多项式近似的应用368

9.3泰勒定理和余数373

9.4幂级数的和函数381

第65438章+00极坐标390

10.1极坐标390介绍

10.2极坐标399中的常用曲线

402区的10.3极坐标

弧长409的10.4极坐标

第11章多元函数微分学413

11.1多元函数简介413

11.2多元函数的极限416

11.3偏导数422

11.4总差额429

11.4.1流行的和不严谨的讨论56638.86666666661

11.4.2 31的理论探讨

11.5多元函数的链式法则434

11.6多元函数的隐函数的求导56543.86666666661

11.7梯度、方向导数和切面443

11.7.1渐变443的定义

11.7.2方向导数443

11.7.3切面449

多元函数的极值问题11.8 450

11.9条件极值:拉格朗日乘数法456

第12章多重积分466

12.1二重积分466

12.2三重积分480

用12.3多重积分替换488的方法

12.4极坐标替换499

12.5圆柱坐标替换504

12.6球坐标代换508

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来源:科学出版社数学教育微信微信官方账号

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