大学数学微积分基础知识
历史
微积分在17世纪成为一门学科，但是积分的思想在古代就已经出现了。
积分学的早期历史
公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯研究了一个球的面积、体积和长度，其中包含了微积分的思想。公元前3世纪，古希腊数学家和力学家阿基米德(公元前287~ 212)写下了《圆的测量》和《球面和柱面上的测量》，其中包含了积分的萌芽，他在研究和解决抛物线下的弓形面积、螺线下的面积和旋转双曲线得到的体积等问题时，隐含了现代积分的思想。中国古代数学家也有了积分学的萌芽，比如三国时期的刘徽。他关于积分学的思想主要包括两点:割线和求体积的思想。
演算生成
在十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题成为了促使微积分产生的因素。归纳起来，主要有四类问题:第一类是学习体育时直接出现的问题，即求瞬间速度的问题。第二类问题是求曲线的切线。第三类问题是求一个函数的最大值和最小值。第四个问题是求曲线的长度，曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心，一个体积相当大的物体作用在另一个物体上的重力。数学首先从对运动的研究中引入了一个基本概念(如天文学、航海等。)，而在接下来的两百年里，这个概念在几乎所有的著作中都占据了中心位置，这就是函数的概念——或者说变量之间的关系。随着函数概念的采用，微积分应运而生，这是继欧几里得几何之后所有数学中最伟大的创造。围绕解决上述四个核心科学问题，微积分问题在17世纪至少被十几个最大的数学家和几十个较小的数学家探索过。它的创始人一般被认为是牛顿和莱布尼茨。这里主要介绍这两位大师的作品。
事实上，在牛顿和莱布尼茨冲刺之前，已经积累了大量的微积分知识。17世纪许多著名的数学家、天文学家和物理学家为解决上述问题做了大量的研究工作，如费马、笛卡尔、罗博伊斯和吉拉德·笛沙格。英国的巴罗和瓦里斯；德国的开普勒；意大利人卡瓦列里等人提出了许多卓有成效的理论。为微积分的创立做出了贡献。
比如费马、巴罗、笛卡尔都对曲线的切线和曲线所围成的面积进行了深入的研究，得到了一些结果，但他们都没有意识到它的重要性。十七世纪的前三分之二，微积分的工作迷失在细节中，他们被琐碎的推理搞得精疲力尽。只有少数伟大的数学家意识到了这个问题。例如，詹姆斯·格雷戈里说，“数学的真正划分不是分成几何和算术，而是分成普遍性和特殊性”。这个普遍的东西是由两个无所不包的思想家牛顿和莱布尼茨提供的。17世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨在前人工作的基础上，在各自国家独立研究并完成了微积分的创立，尽管这只是一个非常初步的工作。他们最大的成就是把两个看似不相关的问题联系起来，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求积问题(积分学的中心问题)。
牛顿和莱布尼茨从直观和无穷小的角度建立了微积分，所以这门学科早期也叫无穷小分析，这就是数学中分析大分支名称的由来。牛顿对微积分的研究侧重于运动学，而莱布尼茨侧重于几何学。
牛顿
牛顿在1671写了《流数与无穷级数》，直到1736才出版。在这本书里，牛顿指出变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了他之前认为变量是无穷小元素的静态集合的观点。他把连续变量叫做流量，这些流量的导数叫做流量数。牛顿在流数技术中的中心问题是:知道连续运动的路径，求给定时刻的速度(微分法)；给定运动速度，求给定时间内走过的距离(积分法)。
莱布尼兹
德国的莱布尼茨(又译“莱布尼茨”)是一位学识渊博的学者。1684年，他发表了被认为是世界上最早的微积分文献。这篇文章有一个很长很奇怪的名字，“求极大极小和切线的新方法，同样适用于分数和无理数，以及这种新方法的计算的奇妙类型”。就是这样一篇推理模糊的文章，却具有划时代的意义。它已经包含了现代微分符号和基本微分定律。1686年，莱布尼茨发表了第一篇关于积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学学者之一，他创造的符号远远优于牛顿的符号，对微积分的发展影响很大。我们今天使用的微积分通用符号，是当时莱布尼茨精心选择的。
基本内容
数学分析
从数量方面研究事物的功能和运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。
广义的数学分析包括微积分、函数论等很多分支，但现在一般习惯把数学分析等同于微积分，数学分析成了微积分的代名词。提到数学分析，就知道是指微积分。
结石
微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。
微分学的主要内容包括:极限理论、导数、微分等。
积分的主要内容包括定积分、不定积分等。