大学课程中拓扑学的内容有哪些？

说到拓扑学，肯定离不开泛函分析的兴起，尤其是Hilbert空间和Bannach空间的建立，推动了点集作为空间的研究。数学分析的核心问题是极限，收敛性和连续性是极限的基本问题。为了将收敛性和连续性的研究扩展到一般集合，有必要描述一般集合上的点或集合的“邻近”概念。“远”可以用来形容“近”，但“远”和“近”没有必然联系。

其实我们也需要用拓扑学来定义高等数学中的“邻域”。对于非空集X，规定X的每个点都有一个子集族，这个子集族由包含该点的子集组成，并且这个子集族满足一组邻域公理(即模仿欧氏空间的特征给出的一组属性)。

子集族中的每个集合被称为点的邻域。这就给出了X的一个拓扑，与这个拓扑相连的X叫做拓扑空间。x的每个点都有邻域，所以我们可以研究点的邻域。因此，可以通过模仿微积分来定义两个拓扑空间之间连续映射的概念。如果一个映射是连续的且存在一个逆映射，且逆映射也是连续的，则称为同胚映射。两个具有同胚映射的拓扑空间称为同胚(直观地说，这两个空间对应的图形从一个连续的地形变化到另一个连续的地形)。

为了证明两个空间的同胚，我们只需要找到它们之间的同胚映射。在欧氏线上，作为子空间，两个任意闭区间是同胚的；任意两个开区间同胚；半开半闭区间[C，D]与[a，b]同胚。点s2-p是从二维球体中挖掘出来的，并且与欧几里得平面K2同胚。为了证明两个拓扑空间不同，需要证明它们之间不存在同胚映射。

这种方法是寻找同胚不变量或拓扑不变量(即在同胚映射下保持不变的性质)；如果第一个空间有同胚不变量，而另一个空间没有，那么这两个空间是不同的。一般拓扑学中常见的拓扑不变量有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等。(见拓扑空间)。

所以拓扑学其实包含了集合论、图论、泛函分析的内容，也是一门综合学科，打好基础会变得更容易。