方差分析摘要

研究样本，通过研究样本来分析总体。事实上，所研究的群体往往是无限的，群体的参数无法通过观察或计算得到。同样，总体平均值也往往是无法计算的，所以常常用样本平均值作为总体平均值的估计，因为样本平均值的数学期望等于总体平均值。

词义分析

平均值偏差是指每个观察值与平均值的偏差。

样本的均方差是总体方差的无偏估计。

标准差是方差的正平均根，用来表示数据的变异程度。

抽样分布的标准差也叫标准误差，可以度量抽样分布的变化。

可变系数

标准差的单位与观察值相同，表示样本的变异程度。如果比较两个样本的变异程度，由于单位不同或均值不同，标准差不能用于直接比较。此时可以计算出样本的标准差占均值的百分比，称为变异系数。

由于变异系数是由标准差和平均数组成的比值，受标准差和平均数的影响，所以在用变异系数表示样本变异程度时，应同时列出平均值和标准差，否则可能会引起误解。

正态分布

标准化正态分布方程基于正态分布，其中U是正态分布的平均值，S是正态分布的方差。

因为不同总体的均值和方差不一样，所以换算成标准的正态分布方程，这样计算一个正态分布的概率，只需要把y换算成u值，然后查表就可以得到y落入某个区间的概率。

假设检验

可以从假设总体推断出随机抽样平均值的分布，从而计算出一个样本平均值的指定值的概率，从而研究样本与总体的关系，进行假设检验，这是假设检验的基本原理。

t检验

f检验也叫方差齐性检验。双样本t检验采用f检验。在进行t检验时，我们需要考虑方差是否相等，可以用f检验进行分析。

u检验和t检验

U-检验:使用U-分布的假设检验，总体方差已知或方差未知但样本较大；

T-检验:使用总体方差未知的T-分布的检验，是一种小样本检验。

U检验是根据标准化正态分布原理计算的。总体方差的U检验是已知的，或者方差是未知的。单个样本量相当大，可以直接用样本方差作为总体方差。

同样，T检验也是根据这个原理进行分析的，但由于T检验的样本比较小(通常小于30，样本大于30时接近正态分布)，且总体方差未知，所以先用样本的方差估计总体的方差，再分析计算概率。

成对数据，因为同一对中两个测试单元的实验条件非常相似，而不同对之间的条件差异可以通过同一对的差异来消除，因为实验误差可控，准确度高。

方差分析

对一组处理过的重复试验数据，通过分解平方和总和和总自由度估计过程间均方和过程内均方(误差均方)，用f检验处理间表示的差异是否为真(大于特定误差)。

方差分析是基于一定的线性加性模型。所谓线性可加模型，就是将总体中的每个变量根据其变化的原因分解成若干个线性分量，这是方差分析的理论基础。

方差分析的基本假设

f检验

在均值为U，方差为S的正态总体中，随机选取两个独立样本，均方分别为s1和s2。s1和s2的比值定义为F，F的值具有s1和s2的自由度。

在方差分析的系统中，可以用f检验来检测一个变异因子的对应或方差是否真的存在，所以在计算F值时，被检验的变异因子的均方差总是分子，而另一个变异(如实验误差项)的均方差是分母。也就是说，如果检测到的变异因子存在，那么根据自由度的关系，其均方大于有限均方。

多重比较

最小显著差异法(本质上是T检验)、Q法和新复极差法LSD。

多重比较结果的表示方法

划片法和标字母法先把平均值从大到小排列，然后把不显著的分成同一组。

参数估计方法

矩法、最小二乘法、最大似然法

联合方差分析

使用多年的多点实验分析

相关系数和决定系数

对于坐标点呈线性趋势的两个变量，如果不需要用X估计Y，而只需要知道X和Y是否确实相关及其相关性质(正相关或负相关)，首先要计算出代表X和Y的相关程度和性质的统计数-相关系数(R用来表示相关系数)..决定系数定义为不同X引起的Y的平方和与Y的平方和总和的比值(决定系数用R表示)。

回归系数是x对y的影响。

偏回归系数

偏回归系数是在其他自变量保持不变的情况下，一个变量对因变量的影响。

偏相关系数是指其他变量保持某一变量与因变量之间的关系。

协变量

一般来说，就是影响自变量以外的因变量的变量，以及一些可以测量的不可控变量。在实验设计中，协变量是一个自变量，实验者无法操纵，但它仍然影响实验结果。

协方差是一种基于方差分析和综合回归分析的统计技术，研究如何调整协变量对因变量的影响，从而更有效地分析实验处理的效果。简单来说就是协变量的分析。

如果想得到回归分析中的置信区间，可以分析-回归-线性回归-统计-回归系数-回归分析中误差条形图的表示。

协方差分析

线性回归及相关应用要点(非常重要)

歪斜

衡量数据偏离正态分布的程度，描述了分布函数的对称性。当偏斜度为正时，分布向大于平均值的方向偏斜，当偏斜度为负时，向小于平均值的方向偏斜。当偏斜度的绝对值大于2时，分布的偏斜度严重。

峭度

测量数据服从正态分布时的峰高，正态分布描述了不同类型分布的集中程度和分散程度。当峰度大于3时，分布陡峭，峰值状态明显，即总体变量的分布相对集中。

偏度和峰度是判断正态分布的重要指标。

完全随机试验是简单的单向方差分析。

但在随机区组检验中，可以使用两因素非重复方差分析，因为区组作为局部控制的手段，在减少误差方面是相当有效的(一般可以不进行区组间f检验，因为检验的目的不是研究区组效应)。

条状实验

在多因子实验中，由于需要进行实验，每个因子的每个水平都有很大的面积，所以同样的处理也是在裂区设计的基础上连在一起的。这样，A、B两个因素互为主次处理，两个因素的交叉处理就是各层次处理的组合。这是条形设计。

分裂区实验

裂区是将实验因素分为主因子和辅助因子，所以裂区实验有两个变差误差项，而一般随机区组实验只有一个误差项。

/s/blog _ ab3e DDB 50102 vz 3 I . html采用单因子的定制，然后自己设计模型:块初级效果块(初级效果)次级效果初级效果*次级效果。在文件-新建-语法中修改它。

条状实验

spss中的单因素和全因素分析

一组中观察数相同的单分组数据的方差分析(spss):简单的单向分析。

组内观测值个数不等的单分组数据的方差分析(spss):单因素，类型1。

分组分组数据的方差分析(spss):单因素，然后将模型修改为{因素分组(因子)子组(因子*分组)。}

不用担心多变量方差分析中治疗组合之间的差异。

附加电源装置（Supplementary Power Supply Set的缩写）

在许多实际问题中，仅仅依靠统计描述和简单的统计推断方法是不够的。在现实世界中，变量之间的关系是复杂的，往往需要同时考虑多个因素的作用，并为其建立多元模型。

常用术语

1，因子和级别

因素又称因子，是指可能对因变量产生影响的分类变量，分类变量的不同层次(类别)称为水平。

2.细胞

一个细胞也叫横向组合，或者细胞，是各种因素在各种层次上的组合。

3.元素

元素是指用于测量因变量的值的最小单位。根据具体的实验设计，一个细胞可以有多个元素，或者只有一个，甚至没有元素。

4、平衡(Balance)

如果在一个实验设计中，任何因子或水平在同一个单元格中出现相同的次数，并且每个单元格中的元素数相同，则该实验是平衡的；否则就叫不平衡。非平衡试验设计在分析时比较复杂，需要对方差分析模型进行特殊设置，才能得到正确的分析结果。

两个处理的样本量不同，是一个不平衡的实验。非平衡实验中异方差和等方差计算的T统计量的值是不同的，而平衡实验中异方差和等方差计算的T统计量的值是相同的，只是自由度不同。此时两种方法的结果比较接近，所以在实验设计中通常需要进行平衡实验。

两个或多个处理之间的差异相等的情况称为方差齐性。严格地说，任何两个处理的方差都不会完全相同。我们说方差齐性，只是认为两个处理的方差相差不大，方差变异程度不足以影响统计分析结果的正确性。这时，通过平衡检验可以进一步减少方差差异对统计分析结果的影响。在方差齐性的前提下，平衡检验的统计效率最高。如果在实验之前可以确定方差是非均质的，则应该为方差较大的处理分配较大的样本量。

在实际应用中，方差在大多数情况下是齐次的。当试验的处理数为两个以上时，应采用方差分析来比较多个处理间的平均差异，而方差分析的前提条件是方差齐性，因此等方差假设具有普适性。

5.协变量

协方差是指可能影响因变量的连续变量，需要在分析时加以控制。事实上，因子和协变量可以简单地分别理解为分类自变量和连续性自变量。

6.互动

如果一个因素的效用在另一个因素的不同水平上明显不同，就说这两个因素之间存在交互作用。

7.固定因素和随机因素。

固定因子意味着因子出现在样本中所有可能的水平。

随机因子是指因子的所有可能值都不出现在样本中，或者说不可能全部出现。

方差分析模型的适用条件

1，理论适用条件

*每个样本的独立性:由于每个样本都是独立的，且来自真实的随机抽样，因此可以保证变异量作为模型表达式是可加的(可分解的)；

*正态性:由于每组随机误差项设定为服从正态分布，模型要求每个单元格的残差必须服从正态分布。

*方差齐性:也是因为随机误差项。由于模型中任意组合的随机误差项都假设服从相同的正态分布，因此模型要求所有单元都满足方差齐性(变异程度相同)的要求。

2.掌握实际操作中的适用条件。

(1)单向方差分析

由于模型只有一个因子，设计简单，样本有足够的信息去考察正态性和方差齐性，这就成了标准的分析步骤。

但是很多人把正态性理解为因变量应该是正态分布，这显然和实际要求不一样。但由于模型的稳健性，只有在因变量分布没有明显偏斜的情况下，分析结果一般是稳定的。

关于方差的齐性，需要特别指出的是，根据Box的研究结果，在单因素方差分析中，如果各组病例数相同(即均衡)，或者总体呈正态分布，那么方差分析模型对略微不均匀的方差有一定的容忍度，只要最大方差与最小方差之比小于3，分析结果就是稳定的。

(2)单元内重复数据的方差分析

相容性设计中的方差分析是最典型的，此时不需要考虑方差的正态性和齐次性，因为方差的正态性和齐次性的考虑是以单元格为基础的，此时每个单元格中只有一个元素，此时无法进行分析。除了相容性设计的方差分析，交叉设计和正态设计可能没有重复数据。但必须指出的是，这里不能仅仅因为条件不充分就考虑适用条件，并不是说这两个问题可以完全忽略。如果根据专业知识认为不同单元格可能存在正态性和方差齐性的问题，就要避免使用这种没有重复数据的设计方案。

当然，从模型的角度来看，实际操作中还有一种考虑数据正态性的方法，就是拟合后做一个残差分析图。如果残差是随机分布的，则可以知道原始数据(在单元中)满足正态条件。

(3)重复数据的多元方差分析。

因为正态性和方差齐性的考察是以细胞为基本单位的，所以这个时候细胞的数量往往比较多，每个细胞的样本平均数实际上比较少。

另一方面，也有可能是因为只有少数单元格方差不均匀，所以测试无法通过。根据实践经验，实际上在多元方差分析中，极值的影响大于方差齐性的影响，所以在实际分析中可以直接考察因变量的分布。如果数据分布没有明显的偏斜，就不存在极值，但一般来说方差齐性和正态性都不会是太大的问题，单元格内的无穷端值也基本可以保证。因此，在多元方差分析中，方差齐性往往仅限于理论探讨。但是对于更重要的研究，建模后的残差分析是非常重要的。

LSD法:其实就是要求每一组都要和一个参考水平进行比较。

S-N-K法:两两比较的结果更加清晰。

1.首先，它会根据表格垂直方向均值的大小对每组进行排序；

2.其次，在表格的水平方向上，分为几个亚组，不同亚组的p值都小于0.05，而同一亚组的各组平均值没有区别，比较p值都大于0.05。

当自变量与其他自变量或协变量相关时，没有明确的方法来评价自变量对因变量的贡献。比如因子A，B，因变量Y的双因子不平衡因子设计，有三个效应:A和B的主效应，A和B的交互效应..假设您使用以下表达式来模拟数据:

Y ~ A + B + A:B

有三种方法来分解Y的方差，由等式右侧的效应来解释。

ⅰ型(顺序型)

根据表达式中第一个出现的效果来调整效果。A不调整，B根据A调整，A:B交互项根据A和B调整..

ⅱ型(分层型)

效果根据同等级或低等级效果进行调整。A根据B调整，B根据A调整，A:B交互同时根据A和B调整。

ⅲ型(边界型)

每个效果根据模型的其他效果进行调整。根据B和A:B调整A，根据A和B调整A:B交互..

对于平衡实验，两种模型都可以使用，但对于非平衡实验，使用ⅰ型。

r默认调用type I方法，其他软件(如SAS、SPSS)默认调用type III方法。

一般来说，越是基础的效果，越需要放在表达的前面。具体来说就是先有协变项，再有主效应项，再有两个因素的交互项，再有三个因素的交互项，以此类推。对于主效应，更基本的变量要放在表达式前面，所以性别要放在处理方法前面。

方差分析广泛应用于商业、经济、医学和农业等许多领域的定量分析研究中。例如，在商业广告中，广告效果可能受到许多因素的影响，如广告风格、区域规模、播出时间、播出频率等。通过方差分析，研究众多因素中哪些是主要因素，以及如何影响这些因素。在经济管理中，方差分析常用于分析变量之间的关系，如人民币汇率对股票收益的影响，存贷款利率对债券市场的影响等等。

协方差是一种基于方差分析和综合回归分析的统计技术，研究如何调整协变量对因变量的影响，从而更有效地分析实验处理的效果。

8.1单向方差分析和R实现

(1)正态检验

对于数据的正态性，采用夏皮罗-维尔克正态检验方法(W检验)，通常用于检验样本量n≤50时样本是否符合正态分布。

在R中，函数shapiro.test()提供了W统计量和对应的P值，所以P值可以直接作为判断标准，其调用格式为shapiro.test(x)，参数X为待测数据集，是一个长度为35000的向量。

示例:

某银行规定VIP客户月平均账户余额要达到654.38+0万元，作为比较分行业绩的指标。这里分行是因子，账户余额是待测指标。首先，从三家分行随机抽取七个VIP客户的账户。为了通过单因素方差分析判断三家分行的这一绩效指标是否相同，首先对两家分行的账户余额进行正常检验。

p值都大于显著性水平a=0.05，所以不能拒绝原假设，说明数据都在因子a的三个水平。

它来自正态分布。

QQPlot用于直观地验证一组数据是否来自某个分布，或者两组数据是否来自同一个(族)分布。在教学和软件中，经常用来检验数据是否来自正态分布。

Qq图是一个正常的分位数图，纵坐标是变量的值，关键是横坐标，指的是做博主的博客。我用R写了一个程序来验证。基本没问题。

qqplot的全称应该是正态分位数图，横坐标法如下:

先将变量按从小到大的顺序排列，计算变量的长度，也就是总* * *，有多少个值，然后按顺序计算变量所有值的累计百分比。所谓累积百分比，可以看作是累积概率，比如有10个值，第一个值从小到大的顺序是1，那么他的百分比就是65438。后一个值的百分比也会是10%，但是累积概率值是20%，依次计算，因为最后一个值的累积百分比是100%，等于1。如果计算其正态分布概率的分位数，这个值是无穷大，所以需要修正。就是因为这个价值。因此，如果从计算出的总累积百分比中减去一个适当小的数，修正后的累积百分比与原百分比几乎相同，但避免了最后一个值为1而无法计算的问题。

有了累积百分比，对应的就是累积概率值。修正累积概率值后，得到累积概率。比如以10个值为例，第一个值的累积概率为0.05，对应的正态分布z值为-1.64，这是qqplot的横坐标数据。我们以10数据和30数据为例。

(2)方差齐性检验

方差分析的另一个假设:方差齐性，需要检验不同水平的数据方差是否相等。r中最常用的Bartlett测试，bartlett.test()的调用格式是

bartlett.test(x，g…)

其中参数x是数据向量或列表；G是因子向量，如果X是列表，则忽略G。使用数据集时，该函数也通过公式调用:

bartlett.test(形式、数据、子集、na.action…)

公式是lhs-rhs形式的方差分析公式；数据表示数据集:子集是可选的，可用于指定用于分析的观察值的子集:na。操作表示遇到缺失值时要采取的行为。

继续上面的例子:

因为P值远大于显著性水平a=0.05，不能拒绝原假设，我们认为不同水平的数据是等方差的。

8.1.2单向方差分析

R中的函数aov()用于方差分析的计算，其调用格式为:

aov(公式，数据=空，投影=假，qr =真，对比度=空，...)

参数公式表示方差分析的公式，在单向方差分析中为x ~ A；数据代表进行差异分析的数据框架:projections为逻辑值，表示是否返回预测结果；qr也是逻辑值，表示是否返回QR分解结果，默认值为TRUE对比是公式中一些因素的比较列表。方差分析表的详细结果可以通过函数摘要()列出。

上面的例子已经检验了数据的正态性和方差齐性，然后F可以用于方差分析:

勒文试验

Levene检验具有稳健、检验效果理想的特点，可用于正态分布数据、非正态分布数据或未知分布数据。

r的包car中提供了levene test的函数Levene.test()。

因为p值大于a=0.05，不能拒绝原假设，我们认为不同水平的数据是等方差的。

8.1.3多重t检验

单因素方差分析表明，从整体上看，各效应的均值存在显著差异，但无法知道均值在哪些水平上与其他不同，所以要逐个比较每一对样本的均值，即对均值进行多重比较。

修改后的P值会比原来大很多，一定程度上克服了多次T检验增加犯第一类错误人数的问题。

概率的弊端。从检验结果来看，两两样本的t检验的p值都很小，说明几个样本之间存在明显的差异。

8.1.4Kruskal-Wallis秩和检验

r内置函数kruskal.test()可以完成Kruskal-Wallis秩和检验，使用如下:

克鲁斯卡尔. test(x，...)

克鲁斯卡尔. test(x，g，...)

kruskal.test(公式，数据，子集，na.action，...)

示例:

一家制造商雇佣了当地三所大学的员工作为经理。最近，公司的人事部门收集了信息并评估了年度工作表现。从三所大学的员工中随机抽取三个独立样本，样本量分别为7、6、7。数据显示在表中。厂商想知道这三所不同大学的员工在管理岗位上的表现是否不同，我们通过Kruskal-Wallis秩和检验得出结论。

测试结果是p = 0.0112

8.2双因素方差分析和R实现

8.2.1无相互作用分析

示例:

一种商品在不同地区、不同包装的销售数据。

首先，为了建立一个数据集，引入了生成因子级的函数g1()，其调用格式为:

gl(n，k，长度=n k，标签=1:n，有序=FALSE)

n是因子的水平数量；k代表每个级别的重复次数；Length=n k代表观测总次数；不同层次的因素可以用参数标签来标注；Ordered是指示是否排序的逻辑值。

在分析之前，测试因素A和B的方差齐性，并使用函数bartlett.test()。

因子A和因子B的p值远大于0.05的显著性水平，不能拒绝原假设，说明因子A和因子B的所有水平都满足方差齐性。此时再次进行双因素方差分析，输入指令。

测试结论:因子B的P值= 0.0219；0.05，无法拒绝原假设，因此没有充分的理由说明包装方式对销售有显著影响。

互动分析

r仍然使用函数aov()进行双因素方差分析，只是把公式改成x A+B+A:B或者xa * b的形式。

示例:

不同路段和不同时间段的行程时间数据

首先，构建一个数据集，测试因素A和B的方差齐性，并使用函数bartlett.test()。

检验结果的p值远大于0.05的显著性水平，说明两个因素下的各个水平都满足方差齐性的要求，可以做进一步的方差分析。画图观察数据的特点，首先是箱线图。

从图中可以发现，分别观察时间段和路段对行驶时间的影响，不同层次的因素存在明显的差异。为了考察因素之间是否存在交互作用，使用函数interaction.plot()绘制交互作用效果图:

interaction.plot(x.factor，trace.factor，response，fun = mean，type = c("l "，" p "，" b "，" o "，" c ")，legend = TRUE，trace . label = deparse(substitute(trace . factor))，fixed = FALSE，xlab = deparse(substitute(x . factor))，ylab = ylabel，ylim = range(cells，na.rm =TRUE)，lty = nc:1，col = 1，pch =c(1:9，0，字母

xtick = FALSE，xaxt = par("xaxt ")，axes = TRUE，...)

X.factor表示水平轴的因子。

Trace.factor表示分类绘图的因子。

响应是一个数字向量，您需要输入一个响应变量。

Fun的意思是汇总数据的方式，默认是计算每个因子级别的平均值。

类型指定图形类型。

图例是指示是否生成图例的逻辑值。

Trace.label给出图例中的标签。

曲线不相交，可以初步判断两个因素之间应该没有交互作用。通过差异分析确认:

根据测试结果的p值，判断提前时间段A和路段B对行驶时间有显著影响；而交互作用A的p值:B = 0.42 >；0.05，所以不能拒绝H0的原始假设，这表明这两个因素之间没有明显的交互作用效应。

8.3协方差分析和R实现

为了提高实验的准确度和精确度，需要采取有效措施，严格控制除研究因素以外的所有条件，使它们在不同水平的因素之间尽可能一致，这就是实验控制。但是，我们在进行实验设计时，即使下大力气去控制，也经常会遇到实验个体的初始条件不同，如果不考虑这些因素，结果可能会失真。如果考虑到这些不可控因素，这种方差分析称为协方差分析，是一种回归分析和方差分析相结合的方法。其基本原理是:将对响应变量Y有影响的某些变量X(未知或不可控因素)视为协变量，建立响应变量Y随X变化的线性回归分析，从Y的总平方和中扣除X对Y的回归平方和，进一步分解残差平方和，再进行方差分析。

示例:

三种肥料对苹果产量的影响

协方差分析的p值很小，说明结果非常显著。我们应该拒绝原来的假设，认为各因素在不同水平上的实验结果有显著差异，即三种肥料对苹果产量影响很大。