驻点和拐点的区别

函数的极值点、驻点、拐点等概念容易被很多学生和老师混淆。如何正确理解极值点、驻点、拐点，主要是基于定义和相关的理解。只有理解透彻定义的定义域定理，然后找到它们的本质区别，才不会混淆。

驻点、极值点、拐点是微积分中不可绕过的知识点。想要完全掌握它们，就必须抓住核心定义，而不是死记硬背一些推论。理解本质才能应对千变万化的问题。

1.核心概念

驻点:是函数一阶导数为0的点，驻点也叫稳定点和临界点。

例如:y=x3，则f'(x)=3x2，设f'(x)=0，x=0为函数y=x3的驻点。

极值点:函数单调性变化的点，或函数的局部极大值或极小值点(或函数有导数时，函数的极值点为其导函数的变号零点)。

例如:y=x2，如图，在x=0处，函数的单调性发生变化，或者在x=0附近的区域，f(0)取最小值，这两种情况都说明x=0是函数y=x2的极值点。

注:我们在求函数的极值时，一般是对f(x)做一阶导数为0，但一阶导数为0的点不一定是极值点。比如，如果y=x3，那么f'(x)=3x2，如果f'(x)=0，我们得到x=0，那么x=0不是函数的极值点，因为函数在x=0。

拐点:函数二阶导数为0，三阶导数不为0的点。

例如:

我们以f(x)=x3为例，看看什么是拐点，如图:在(0，0)处，函数的凹度发生变化，我们知道二阶导数为正，原函数为凸，二阶导数为负，原函数为凹。函数先凹后凸，所以(0，0)是函数的拐点。

备注:在拐点处，函数的凹凸性发生了变化。当二阶导数大于0时，函数像是凹的；如果二阶导数小于0，说明函数像是凸的。

2.差异和联系

①零点、驻点、极值点都是指函数y=f(x)的一个横坐标x0，而拐点是指函数y=f(x)的图像上的一个点(x0，f(x0))。

②驻点和极值点:导函数f(x)的极值点一定是它的驻点，但反过来，函数的驻点也不一定是极值点。比如上面例子中的y=x3，x=0是函数f(x)的驻点，但不是极值点。另外，当函数的一阶导数不存在时，也可能获得一个极值，例如y=|x|。在x=0处不存在导数，但极值点是x=0，如下图所示。

③驻点和极值点与函数的一阶导数有关，拐点与函数的二阶导数和三阶导数有关。

3.内容归纳