什么是庞加莱猜想？

21世纪初，美国麻省剑桥克莱数学研究所(CMI)参照100多年前德国数学家戴维·希尔伯特的做法，于2000年5月24日在法国举行的千年年会上公开征集7个数学问题的答案。这七个问题是由克莱数学研究所科学顾问委员会精心挑选的，克莱数学研究所董事会为每个问题的解决提供了一百万美元的奖金。这些问题是(按字母顺序排列)[7个问题的描述]

1.Birch和Swinerton-Dyer猜想:对于有理数域中的任意椭圆曲线，其L函数在1中的零阶等于该曲线上有理点形成的Abel群的秩。

2.Hodge猜想:在非奇异复射影代数族上，任何Hodge类都是代数闭链类的有理线性组合。

3.纳维尔-斯托克斯方程:证明或否定三维纳维尔-斯托克斯方程解的存在性和光滑性(在合理的边界和初始条件下)。

4.P VS NP问题:具有确定性多项式时间算法的问题类P是否等于具有不确定性多项式时间算法的问题类NP。

5.庞加莱猜想:3-球面中任何闭简单连通的3-流同胚。

6.黎曼假设:黎曼ζ函数的非平凡零点的实部都是1/2。

7.杨-米尔斯理论:量子杨的证明？米尔斯场存在，并且存在质量间隙。

庞加莱猜想

庞加莱猜想:庞加莱在1904年发表的一组论文中提出，任何单连通闭的三维流形都同胚于三维球面。

打个浅显的比方:如果我们在苹果表面周围拉伸橡皮筋，那么我们就可以慢慢移动它，把它收缩成一个点，而不会弄断它，也不会让它离开表面。另一方面，如果我们想象同样的橡胶带在轮胎胎面上以适当的方向拉伸，没有办法在不破坏橡胶带或轮胎胎面的情况下将其收缩到一点。我们说苹果表面是“单连通”的，但轮胎胎面不是。大约一百年前，庞加莱就知道二维球面在本质上可以用简单连通来表征，他提出了三维球面(四维空间中距离原点单位距离的所有点)的相应问题。这个问题立刻变得异常困难，从此数学家们一直在为之奋斗。

历史

庞加莱猜想是法国数学家亨利·庞加莱在1904年提出的。一百年也没人能解决。庞加莱猜想提出后不久，又推广到n≥4维的情况，称为广义庞加莱猜想。1961年，美国数学家S.Smale用一种非常巧妙的方法，绕过了给出三个或四个的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。1981年，另一位美国数学家M.Freedman证明了四维猜想，至此广义庞加莱猜想被证明。但时至今日，庞加莱猜想依旧。2002年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼的一篇论文证明了这个猜想。

2006年6月3日，美国哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖获得者丘成桐在中国科学院晨兴数学研究中心宣布:在美国和俄罗斯科学家工作的基础上，中山大学朱希平教授和旅居美国的数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经完全证明了庞加莱猜想。