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基本解决方案系统有三个条件:

1是方程组Ax=0的解。

2.这是一个线性独立的解决方案。

3.方程组Ax=0的任何解都可以用线性表示。(隐含条件是基本解系的解向量个数=n-r(A))

解释

(证明:1是方程组Ax=0的解。)

α1, α2, ...，αs是方程组Ax=0的基本解系。

α1, α2, ...，αs可以线性表示βj，那么βj就是方程组Ax=0的解。

(证明:2。这是一个线性独立的解决方案。)

设A=(α1，α2，...，αs)，B=(β1，β2，...，βs)，

然后根据已知的β1=α2+...+αs，β2=α1+...+αs，......

以矩阵形式书写(α1，α2，...，αs)C = (β1，β2，...，βs)。

矩阵c是

0 1 1 ...1

1 0 1 ...1

......

1 1 1 ...0

因为α1，α2，...，αs是方程组Ax=0的基本解系，它是线性无关的，并且由于矩阵C的|C|≠0是可逆的。

然后(β1，β2，...，βs)必须是线性无关的。

(3)可以表示方程组Ax=0的所有解。)

因为(α1，α2，...，αs)C = (β1，β2，...，βs)，C是可逆的。

R(A)=r(B)=s，解向量个数相等。

n-r(A)=n-r(B)

综上所述，βj是方程组的基本解系。

给…作注解

基本的解决体系要从以上三个方面来考虑。

纽曼英雄2065438+2005年3月9日10:58:49

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