大学离散数学试卷
离散数学试题(A卷及答案)
1.(10分)A、B、C、D四个人中的两个人需要被分配完成某项工作。根据以下三个条件，有多少种方法？怎么发？
(1)如果A去了，C和D就有1人；
(2)B和C不能都去；
(3)如果C走了，D留下。
设置a: a工作；B: b上班；C: c上班；D: d去上班。按照问题的意思应该是:a？c？d，？(B∧C)，CD必须同时成立。因此
(A？c？D)∧？(B∧C)∧(CD)
(?A∨(C∧？D)∨(？C∧D))∧(？B∨？C)∧(？C∨？d)
(?A∨(C∧？D)∨(？C∧D))∧((？B∧？C)∨(？B∧？D)∨？C∨(？C∧？d))
(?A∧？B∧？C)∨(？A∧？B∧？D)∨(？A∧？C)∨(？A∧？C∧？d)
∨(C∧？D∧？B∧？C)∨(C∧？D∧？B∧？D)∨(C∧？D∧？C)∨(C∧？D∧？C∧？d)
∨(?C∧D∧？B∧？C)∨(？C∧D∧？B∧？D)∨(？C∧D∧？C)∨(？C∧D∧？C∧？d)
F∨F∨(？A∧？C)∨F∨F∨(C∧？D∧？B)∨F∨F∨(？C∧D∧？B)∨F∨(？c∧D)∞F
(?A∧？C)∨(？B∧C∧？D)∨(？C∧D∧？B)∨(？C∧D)
(?A∧？C)∨(？B∧C∧？D)∨(？C∧D)
T
所以有三个流派:B∧D，A∧C，A ∧ D。
(15)用谓词逻辑构造如下证明:学术会议的每一个成员都是专家和工作者，有的成员是年轻人，所以有的成员是年轻专家。
解:宇宙:所有人的集合。():专家；():是工人；():年轻人；推理形式是:
( ( )∧ ( )), ( ) ( ( )∧ ( ))
给出以下证明:
(1) ( ) P
(2) (c) T(1)，ES
(3) ( ( )∧ ( )) P
(4) ( c)∧ ( c) T(3)，美国
(5) ( c) T(4)，I
(6) ( c)∧ (c) T(2)(5)，I
(7) ( ( )∧ ( )) T(6)，例如
3.(10分)设A，B，C为三组，那么A？B(B？答.
证明:a？Bx(x∈A→x∈B)∧？x(x∈B∧x？A)x(x？A∨x∈B)∧？x(x∈B∧x？答
x(x∈A∧x？B)∧x(x？B∨x∈A)？x(x∈A∧x？B)∨x(x∈A∨x？b)
(?x(x∈A∧x？B)∧？x(x∈A∨x？b))(？x(x∈A∧x？B)∧？x(x∈B→x∈A))
(B？答.
(15)设A = {1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，R = {
解r (r) = r ∪ ia = {
s(R)= R∪R-1 = { & lt；2，1 & gt；，& lt2，5 >，& lt2，4 >，& lt3，4 >，& lt4，4 >，& lt5，2 >，& lt1，2 & gt；，& lt4，2 >，& lt4，3 >}
R2 = { & lt；2，2 & gt；，& lt2，4 >，& lt3，4 >，& lt4，4 >，& lt5，1 & gt；，& lt5，5 >，& lt5，4 >}
R3 = { & lt2，1 & gt；，& lt2，5 >，& lt2，4 >，& lt3，4 >，& lt4，4 >，& lt5，2 >，& lt5，4 >}
R4 = { & lt；2，2 & gt；，& lt2，4 >，& lt3，4 >，& lt4，4 >，& lt5，1 & gt；，& lt5，5 >，& lt5，4 >}=R2
t(R)= Ri = { & lt；2，1 & gt；，& lt2，5 >，& lt2，4 >，& lt3，4 >，& lt4，4 >，& lt5，2 >，& lt2，2 & gt；，& lt5，1 & gt；，& lt5，4 >，& lt5，5 >}。
(10分)R是非空集a上的二元关系，若R对称，则r(R)和t(R)对称。
证明了对于任意x，y∈A，若xr(R)y，则由r (r) = r ∪ ia，xRy或xIAy得到。因为R与IA对称，所以有yRx或yIAx，所以yr (r) x .所以r (r)对称。
下证明对称于任意正整数n，r n。
因为R对称，所以有xR2yz(xRz∧zRy)z(zRx∧yRz)？YR2x，所以R2是对称的。如果是对称的，那么x yz(x z∧zRy)z(z x∧yRz)？Y x，所以对称。所以对于任意正整数n，都是对称的。
对任意x，y∈A，若xt(R)y，有m使xRmy，则有yRmx，即有yt (r) X .因此，t(R)是对称的。
(10分)如果F: A → B是双射，那么F-1: B → A是双射。
证明了F: A → B是双射的，那么F-1是从B到A的函数..F-1是双射的。
对任意x∈A，必有y∈B使f (x) = y，所以f-1 (y) = x，所以f-1是满射的。
对于任意y1和y2∈B，若f-1(y 1)= f-1(y2)= x，则f (x) = y1，f (x) = y2。因为f: a → b是函数，那么y1 = y2。所以f-1是内射的。
综上，F-1: B → A是双射的。
七、(10分)集合
证明因为
因为s是有限集，所以一定有j > I，所以=让p = j-i，那么= *。所以对于q≥i，有= *。
因为p≥1，总能找到k≥1，所以KP ≥ I .对于∈S，有= * = * (*) = … = *。
设a =，那么a∈S和a * a = a。
八、(20分)(1)如果G是一个连通的平面图，G的每个面的度至少为l(l≥3)，那么G的边数m与节点数n有如下关系:
m≤ (n-2).
证明了如果G有r个面，则2m= ≥lr。根据欧拉公式，n-m+r = 2。因此，m ≤ (n-2)。
(2)设计划G =
证明G * =
离散数学试题(B卷及答案)
I. (10)证明(P∨Q)∧(P？R)∧(Q？S) S∨R
证明因为S∨RR？s，因此，有必要证明(P∨Q)∧(P？R)∧(Q？s)？r？s .
(1)?r额外房地
(2)P？R P
(3)?P T(1)(2)，I
(4)P∞Q P
(5)Q T(3)(4)，I
(6)问？标准普尔
(7)第五条第六款，第一项
(8)?r？S CP
(9)S∞R T(8)，E
(15)根据推理理论，证明每个考生都是勤奋的或者聪明的，所有勤奋的人都会有所作为，但不是所有的考生都会有所作为，所以一定有一部分考生是聪明的。
设P (E): E为考生，Q (E): E会做事，A (E): E勤奋，B (E): E聪明，个人域是人的集合，那么命题可以符号化为:？x(P(x)？(A(x)∨B(x)))，？x(A(x)？Q(x))，x(P(x)？Q(x))？x(P(x)∧B(x)).
(1)x(P(x)？Q(x)) P
(2)x(？P(x)∨Q(x)) T(1)，E
(3)?x(P(x)∧？Q(x)) T(2)，E
(4)P(a)∧？Q(a) T(3)，ES
(5)P(a) T(4)，I
(6)?Q(a) T(4)，I
(7)?x(P(x)？(A(x)∨B(x)) P
(8)P(a)？(A(A)∞B(A))T(7)，US
(9)A(A)∞B(A)T(8)(5)，I
(10)?x(A(x)？Q(x)) P
(11)A(a)？美国Q(a) T(10)
(12)?A(a) T(11)(6)，I
(13)B(a) T(12)(9)，I
(14)P(a)∧B(a)T(5)(13)，I
(15)?x(P(x)∧B(x)) T(14)，例如
(10)一个班25个学生，其中14会打篮球，12会打排球，6个会打篮球和排球，5个会打篮球和网球，2个会打这三种球。而六个会打网球的人可以打另一种球，问不会打这三种球的人数。
解决方案A、B和C分别表示会打排球、网球和篮球的学生的集合。然后:
|A|=12，|B|=6，|C|=14，|A∩C|=6，|B∩C|=5，|A∩B∩C|=2，|(A∩C)∩B | = 6 .
因为|(A∩C)∩B | =(A∩B)∩(B∩C)| = |(A∩B)|+|(B∩C)|-| A∩。所以| A∪B∪C | = 12+6+14-6-5-3+2 = 20，= 25-20 = 5。所以这三种球有5个人不会打。
4.(10分)如果A1，A2，A3是完备集U的子集，那么形状是Ai？(Ai？为Ai或)的集合称为A1，A2，A3生成的项。证明了由A1，A2和A3生成的所有非空项的集合构成了完备集u的一个除。
有***8个证明项，r个非空项s1，s2，…，sr(r≤8)。
对于任意一个a∈U，那么a∈Ai或者a∈，其中一个必须成立，取Ai？是Ai还是包含元素a，那么a∈ Ai？，即有一个∈ si，所以u？是的.明明又有si？所以u = si。
取任意两个非空项sp和sq。如果sp≠sq，必然有一个Ai并且会分别出现在sp和sq中，那么SP ∩ SQ =？。
综上所述，{s1，s2，…，sr}是u的一个除。
5.(15分)设R是A上的二元关系，那么:R是传递的？R*R？r .
证明(5)如果R是传递的，那么
另一方面，如果R*R？r，对于任意x，y，z∈A，如果xRz和zRy，则
6.(15分)如果G是连通规划，那么N-M+R = 2，其中N，M，R分别是G的节点数，边数，面数。
证明了g的边数m是诱导的。
当m = 0时，因为G是连通图，所以G是平凡图。此时n = 1，r = 1，结论自然成立。
假设边数小于m，则连通图的结论成立。让我们考虑连通平面图G的边数为m的情况。
设e是g的一条边，从g中删除e得到的符号是g？并且设节点数、边数、面数为n？、m？r呢？。e分为以下几种情况来讨论:
如果e是修剪，那么g？有两个相连的分支G1和G2。Gi的节点数，边数，面数分别为ni，mi，ri。明明N1+N2 = n？=n，m1+m2=m？=m-1，r1+r2=r？+1=r+1 .用归纳法假设有N1-M1+R1 = 2和N2-M2+R2 = 2，于是(n 1+N2)-(m 1+M2)+(r 1+R2)。
如果e不切边，那么n？=n，m？=m-1，r？= r-1，假设归纳起来有n？-m？+r？= 2，这样n-(m-1)+r-1 = 2，即n-m+r = 2。
根据数学归纳法，这个结论是成立的。
七、(10分)设函数g: a → b，f: b → c，则:
(1)雾是从a到c的函数；
(2)对任意x∈A，有fog (x) = f (g (x))。
证明了(1)对于任意x∈A，因为G: A → B是函数，所以存在y∈B makes
对于任意x∈A，如果y1和y2∈C存在，则使得< x，y 1 & gt；、& ltx，y2 & gt∈ fog = g * f，则t1存在，这使得
综上所述，雾是从a到c的函数。
(2)对任意x∈A，g: a → b是一个具有
八、(15分)集合
证明了对于任意一个a∈G，必有一个-1 ∈ g使得a-1 * a = e ∈ h，所以< a，a & gt∈R .
如果
如果
综上所述，r是g中的一个等价关系。
对任何人来说，都有