实数公理的基本定理

实数系的基本定理也称为实数系的完备性定理和连续性定理。这些定理分别是定边界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、收敛点定理、紧性定理、闭区间集定理和柯西收敛准则。它们彼此等价，以不同的形式描述了实数的连续性。它们也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具。在微积分的各种定理中，七个基本定理的等价性并不是说它们都为真，而是说它们都为真或者都不为真。这就需要一个更基本的定理来证明其中一个为真，也就是说它们同时都为真。引入的方法主要是承认戴德金公理，然后证明这七个基本定理是等价的，从而开始建立微积分的一系列概念和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理，但这七个定理是教学中常见的基本定理。

第一，上(下)确界原理

有上(下)界的非空集一定有上(下)确界。

第二，单调的定义。

单调有界序列一定有极限。具体来说:

有上(下)界的单调增(减)序列一定收敛。

3.闭区间嵌套定理(柯西-康托定理)

对于任何一组闭区间，必定存在属于所有闭区间的公共点。如果区间长度趋于零，那么这个点就是唯一的公共点。

第四，有限覆盖定理(borell-Leberg定理，Heine-Porel定理)

闭区间上的任何开覆盖必定有一个有限子覆盖。换句话说，闭区间上的任何开覆盖都必须取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。

五、极限点定理(波尔查诺-维尔斯特拉斯定理、收敛点定理)

有界无穷点集必有收敛点。换句话说，每个无限有界集合至少有一个极限点。

6.有界闭区间的序列紧性(紧性定理)

有界序列必须有收敛的子序列。

七。完备性(柯西收敛准则)

序列收敛的充要条件是它是柯西序列。或者:柯西会收敛，收敛序列就是柯西。

注:只有具备充分必要条件的命题才能称为“判据”，否则不能称为“判据”。

以上七个命题称为实数系基本定理。实数系的七个基本定理以不同的形式描述了实数的连续性，它们之间是等价的。在证明中，我们可以用单圈证明来证明它们的等价性。它们之间等价的证明可以在《数学分析笔记》中找到。

在闭区间上连续函数性质的证明中，实数系基本定理是一个非常重要的工具，但是它们之间的等价性并不能证明它们都为真。必须有一个更基本的定理来证明其中一个为真，这样以上命题都为真。经过反复仔细的考虑，问题归结为实数的引入。比如在Fichkingolz的《微积分教程》中，定定理可以由实数的连续性导出，而在华东师范大学数学系编的《数学分析(第一卷)(第四版)》中，定定理是由实数的小数形式导出，这也说明了建立严格的实数定义的重要性。逻辑上要先建立实数，再得到实数系的基本定理，这样才能在实数域建立严格的极限理论，最后才能得到严格的微积分理论。然而数学史的发展却恰恰相反，严格极限理论最早建立于19世纪初。实数系基本定理基本形成后，18。