河海大学21极限计算主要方法之一。

函数极限的四种算法:如果有一个函数，如果LIMf(x) = A，LIMg(x) = B在自变量f(x)和g(x)的同一个变化过程中，那么

lim[f(x)g(x)]= limf(x)limg(x)= A B

lim[f(x)？g(x)]=limf(x)？limg(x)=A？B

lim==(B≠0)

(类似四种有顺序限制的算法)现在以讨论函数为例。

对于求和、差、积、商形式的函数极限，自然会想到极限的四种算法，但要使用这些算法，往往需要先对函数做一些相同的变形或简化，然后再使用极限的四种算法。这些方法是:

1.直接取代

对于初等函数f(x)的极限f(x)，若f(x)在x点的函数值f(x)存在，则f(x)=f(x)。

直接代入法的本质是只要把x=x代入函数表达式，如果有意义，其极限就是函数值。

例1:求极限(x+3)。

解法:(x+3)=2+3=7。

2.无穷和无穷小之间的转换方法

在同一个变化过程中，如果变量不取零值，那么变量就是无穷大？它的倒数无穷小。对于一些特殊的极限，可以利用无穷和无穷小的倒数关系来求解。

(1)当分母的极限为“0”，分子的极限不为“0”时，不能直接用极限的商的算术。而是先利用无穷和无穷小的倒数关系求极限，从而得到f(x)的极限。

例2:求。

解:∫= = 0

∴=∞。

(2)当分母的极限为∞而分子为常数时，f(x)的极限为0。

例3:求。

解:=0。

3.用适当的无穷方法除

对于极限是“”型，不能直接用极限商算法，必须先将分母和分子除以一个合适的无穷量x。

例4:计算。

解法:===3。

总的情况有以下结论:

设a≠0，b≠0，m，n为正整数，则

=0，当n > m时，当n=m ∞，当n < m时。

4.物理化学方法

适用于有根的极限。

示例5:计算(-)。

解答:(-) =

==0。

第二，用夹点准则求极限

函数极限的夹点定理:设函数f(x)，g(x)，h(x)定义在x(或| x |x|>N)的向心邻域内，若①f(x)≤g(x)≤h(x)；②f(x)=h(x)=A(或f(x)=h(x)=A)，则g(x)(或g(x))存在，g(x)=A(或g(x)=A)。(类似能得到数列极限的夹点定理)

使用夹点准则的关键是选择合适的不等式。

例6:计算x []。

解:当x > 0时，有1-x < x [] ≤ 1。用夹点判据，有(1-x)=1，所以有x [] = 1。

第三，利用单调有界准则求极限。

单调有界准则:单调有界序列必有极限。

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，然后通过解方程得到极限。

例7:证明数列，…有极限，求其极限。

证明了(1)证明序列是有界的，很容易知道{x}是递增的，x≥

用数学归纳法证明x≤2，显然x = < 2，

如果x≤2，那么x =≤2。

(2)证明数列单调递增，x-x=-x==。

用(1) 0 < x < 2？… x-x-x>0。

(3)利用单调有界收敛准则，x = a。

(4) x=，x = 2+x。

取方程两端的极限得到a=2+a，得到a=2或a=-1(明显不满意，略去)。

所以x=2。

四、用等价无穷小代换求极限

等价无穷小的常见例子有:当x→0时，sinx ~ x；tanx ~ x；1-cosx ~ x；e-1 ~ x；ln(1+x)~ x；arcs inx ~ x；arctanx ~ x；(1+x)-1~x .

等价无穷小的替换定理:设α(x)，α′(X)，β(x)，β′(X)都是同一变化过程中自变量X的无穷小，且α(X)~α′(X)，β(X)~β′(X)，lim存在，则lim=lim。

例8:计算。

解:利用等价无穷小代换，

是= = =。

注意:当分母或分子是两个等价无穷小的减法时，不能简单地用各自等价的无穷小来代替，否则会导致错误的结果。从另一个角度看，等价无穷小代换适用于积和商，而不适用于加减中的简单代换。

比如当x→0时，tanx ~ x和sinx ~ x有==0。

上述公式之所以错误，是因为当x→0时，虽然tanx ~ x和sinx ~ x，但tanx和sinx(x→0)趋于零的速度只能近似相等，而不能完全相等。

五、利用无穷小的性质求极限

在无穷小量的性质中，特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质来求极限。

例9:计算xsin。

解:当x→0时，x是无穷小量，from |sin|≤1，即sin是有界量，所以xsin是无穷小量，所以xsin=0。

六、利用两个重要极限求极限

用两个重要的极限=1和(1+)=e求极限时，关键是对给定的函数或序列进行适当变形，使其具有相应的形式，有时可以通过变量替换来简化问题。

示例10:计算。

解法:===2。

例11:计算()。

解:()= [(1+)] = E。

七、利用洛必达定律求极限。

如果函数f(x)和g(x)在x→a(或x→∞)时都趋于零或无穷大，则它们可能存在也可能不存在。通常，这样的极限分别称为“型”或“型”不定公式。一般来说，极限运算法则不能应用于这种极限，但极限可以通过使用洛必达法则找到。

洛必达定律:

设(1) limit为类型或不定类型；

(2)f(x)，g(x)在偏心邻域(x)或| x | > x中可微，g '(x)≠0；

(3)存在或无穷小，则=。

其他不定式，如“0？Type ∞，Type ∞ -∞，type 1，type 0，type ∞，不能直接使用洛必达规则，需要改为type或type才能使用洛必达规则。

示例12:计算。(类型)

解:==2。

示例18:计算(sinx)。(类型0)

解法:(sinx)= E = E = E = E = E = E = E = E = E = E = E = 1。

八、用泰勒公式求极限。

如果函数f(x)在包含x的开区间(a，b)中有一个直到n阶的导数，那么当x在(a，b)中时，总有f (x) = f (x)+f' (x)+(x-x)+…+(x-x)。

其中o [(x-x)]称为钢琴余数，当x=0时，上述方程称为麦克劳林公式。

对于一些复杂的极限问题，可以用麦克劳林公式来求解。

示例19:计算。

解答:=

==。

用泰勒公式求极限时，要灵活运用，区分哪些项需要展开，哪些项可以保留。泰勒公式是求复变函数极限的有力而有效的工具。

九、利用定积分的定义求极限

如果遇到一些求和极限问题，可以表示为一个可积函数的积分和，可以用定积分求极限。关键是根据给定的求和公式确定可积函数和积分区间。

例15:计算sin+sin+…+sinπ。

解:原公式=sin+sin+…+sinπ+sinπ=？Sin π xdx = [cos π x] =