翻身吧，数学之王——魔鬼数学札记
说到数学，很多人可能会皱眉，仿佛回到了放下铅笔的那个下午。当他们接起来的时候，已经看不懂数学老师的推演了，真的让人焦虑和忧郁。我们在学校学的东西，似乎只是一堆无聊的规则、定律、公理。我们中学学过三角函数，大学学过微积分。然而，大多数成年人在日常生活中能使用多少次余切函数或不定积分呢？那我们为什么还要学习前人传下来的这些看似毫无疑问的数学呢？
在这本《魔鬼的数学》中，作者摒弃复杂的专业术语，用现实世界中的奇闻轶事、基本方程、简单图表，讲述数学的魅力，以及如何获得用数学原理解决生活中问题的技巧。乔丹？艾伦·伯格认为，数学是人类最重要的基础科学之一，也是生活中最有用的思维工具。数学可以帮助我们更好地理解世界的结构和本质，应该放在每个有想法的人的工具箱里。尤其是在当前的大数据时代，我们需要数学思维的力量来更好地解决问题，避免谬误和错误。
作者在书的开头提出了一个观点，数学知识可以分为四个象限，我们只需要关注其中的一个象限。
第一象限是简单朴素的数学知识。这些数学知识看起来比较复杂，但就理解难度而言，其实很简单。
第二象限是复杂但简单的数学知识。这些数学需要一些解题技巧和更多的细心，但这些仍然只是简单的数学知识。我们在学校花了很多时间学习解题技巧，实际上并没有帮助我们理解数学之美。相反，它可能会让我们失去对数学的兴趣。
第三象限是复杂而深刻的数学知识。这是专门从事数学研究的人感兴趣的领域。如果想进入这个领域，需要一定的数学天赋，而且必须非常投入，付出艰苦的努力，追求一生。我们这些普通人可能只会在门口瞥一眼，不知道里面的神秘世界是什么样的。这方面的知识是供我们普通人膜拜的。
最值得学习的是第四象限的数学知识，即简单而深刻的数学知识。简单，因为这都是入门知识；深刻，因为这些知识是违背我们的直觉的，或者说需要我们更仔细的推理。比如对随机性、因果性、回归性的理解都属于这一类。在这里，作者举了一个“消失弹孔”的故事:如果需要给战斗机加装甲，是加在弹孔密集的机身上，还是加在弹孔较少的发动机上？二战期间，美军统计研究组成员亚伯拉罕·瓦尔德认为，应该安装装甲的地方不应该是弹孔多的机身，而应该是弹孔少的发动机。为什么会这样呢？先说一个理论假设。理论上来说，飞机各个部位中弹的概率应该是一样的。那么，为什么返航飞机机身上的弹孔比发动机上的多呢？换句话说，本来应该在发动机上的弹孔在哪里？沃尔德认为，这是因为所有引擎被击中的飞机都坠毁了。回来的飞机，尽管机身上留下了很多弹孔，但还是能够承受住打击，所以能够安全返航。比如我们去野战医院数伤员，你会发现腿部中弹的士兵肯定比脑部中弹的多。脑部中枪的士兵很少存活，腿部中枪的士兵存活几率更大。这就是所谓的“幸存者偏见”，也就是说，我们只看到了幸存者，却没有看到那些已经失败死去的人。
所以这本书的重点是介绍在日常生活中如何运用第四象限数学方法分析和解决问题。作者用寓教于乐的案例和方法，帮助我们重新认识与数学相关的五个概念，即线性、推理、回归、存在和期望。
预测未来的最好方法是从确定性开始。经济学家经常要做预测。有个笑话说，经济学家最喜欢做的事就是预测，但最不擅长的事就是预测。预测短期或长期相对容易，但最难的是预测中期。
因为最简单的方法是线性外推法，所以在预测短期和长期时会有更大的确定性。线性外推的方法意味着今天发生的事情明天还会发生。现实世界中，确实有很多线性变化或者类似线性变化的现象。比如人口的老龄化，信息的增长，中国工业化和城市化不可逆转的发展。在线性趋势中，我们也可以区分硬趋势和软趋势。硬趋势是你可以衡量或感知的趋势；软趋势是你似乎看到和预测的推测。比如二战结束后，大量美军士兵回国，出现了婴儿潮，所以人口数据是我们可以看到和预测的硬性趋势；然而，人们以为战后商业订单会暂时减少，经济会衰退，但预期的经济衰退并没有发生，这是一种更难预测的软趋势。
相对来说，短期和长期的技术难度都比较小，而中期的预测就比较复杂。不出意外的话，中期还会有更多的波动，这些波动的拐点很难预测。比如，即使知道股市存在泡沫，也很难预测泡沫何时会破灭。即使知道股价被低估，也很难预测何时反弹。
因此，在预测中期走势时，一定要谨慎。预测中期趋势时，噪音更多，规律更复杂。我们会遇到波动和周期。所以虽然线性趋势是最简单直观的，但是我们要提醒自己，不是所有的现象都是线性趋势。盲目应用线性趋势有时会得出非常荒谬的结论。
再举个例子。最近在讨论特朗普的减税政策时，媒体经常提到拉弗曲线。拉弗曲线说，随着税率的提高，起初税收会增加，但如果税率过高，会影响人们的工作积极性，税率降低，但税收会减少。拉弗曲线是对的吗？从数学上来说，拉弗曲线可能是对的。拉弗曲线指出，税率和税收之间的关系不是线性的。从常识上解释税率和工作意愿的关系，似乎是合理的。但是为什么大多数经济学家对拉弗曲线嗤之以鼻呢？
因为拉弗曲线缺乏坚实的理论基础。首先，税率不一定是决定政府税收的最重要因素。增加税收的一个更有用的方法可能是提高税收效率。而且减税后，人们的工作积极性不一定会提高。毕竟影响人的工作积极性的因素非常复杂。决定我们工作积极性的因素有两个，一个是基础因素，一个是动力因素。金钱收入只是基本因素，驱动因素包括挑战、认同感、责任感和个人成长。
大多数经济学家并不是说拉弗曲线的形状不对，而是说看待税改不能简单地用事物。目前美国高收入的税率远低于20世纪的大部分时间。也就是说，很少有经济学家认为美国现在处于拉弗曲线的下行区域。
如果单纯评价特朗普减税的效果，特朗普减税对美国经济的影响可能没有一些朋友想的那么大。首先，特朗普的减税政策并非发生在美国经济相对低迷的时候。经济学告诉我们，只有在经济不景气的时候，减税对经济增长的刺激作用才更明显；第二，特朗普的减税政策明显带有“劫贫济富”的色彩。这将加剧美国的贫富差距，使本已撕裂的美国社会更加分裂；第三，如果在不减少政府支出的情况下减税，很可能导致美国债务压力越来越大。
而美国却通过减税让跨国公司的海外利润回流。资本外流压力、人民币重回贬值通道、被动减税压力、资产价格泡沫可能被动收缩，中国还能“独善其身”多久？这次就不说太多了，后面在阅读模块关于“大国博弈”的部分会讲到(允许我先充电再分享，捂脸hhh)。
有一天，你突然收到一封来自巴尔的摩股票经纪人的邮件，推荐一只承诺一周后上涨的股票，但你没有理会。接下来的十周，他每周都推荐一只新股，你惊讶地发现，他预测的股票居然都涨了。那么，在第十一个星期，你会选择买他的股票吗？这是著名的巴尔的摩股票经纪人的故事。然而，你可能会觉得很神奇，甚至是奇迹。巴尔的摩的股票经纪人连续十次猜测股票的涨跌，但这是一个背后隐藏着概率的骗局。知道了方法，股市白痴也能轻松实现，因为接受者不止一个。第一周只需要发送10240封邮件，一半的收件人邮件预测股票上涨，另一半做出相反的预测；下一周，后面的收件人将不会收到邮件，剩下的5120人将分两批继续收到一半一半不同预测分数的邮件，以此类推。到第十周，只有10人会连续十周收到预测准确的邮件。你怎么想呢?所以我们在做数学推理的时候，要以这个故事为戒:在大数据的分析中一定要小心，二次方程的根可能不止一个，同样的观察结果可能会产生很多理论。让我们误入歧途的不是事情的真相，而是推理时对一些假设的遗漏。
“推论”一章还提到了两个很有意思的概念:“零假设”和“显著性检验”。
零假设是假设没有效果，或者假设完全没有效果，或者假设没有相关性。我们做研究，要从零假设开始，然后做实验或者收集数据，看能不能推翻零假设。如何推翻零假设？这就需要进行显著性检验，这其实是一种模糊归谬法。
归谬法的思想是，为了证明一个命题不正确，我们先假设命题为真，然后再看能不能得出什么结论。如果这个结论是明显错误的，那么假设就是一个伪命题。也就是说，我们假设H为真。根据H，一个事实F不成立，但F成立，所以H不成立。但是，在大多数研究中，我们不可能得出这样确定的结论，所以显著性检验就出现了。
我们假设H为真，根据H得到一个O的结果的可能性应该很小。不幸的是，我们看到事件O发生了，所以H成立的可能性很小。比如，我们假设S先生工作积极认真。如果他工作积极认真，上班时间发现他打王者荣耀的概率会很小。但是，我们发现这个人确实有一个重要的会议，而且他还在打王者荣耀。这是什么意思？解释一下我们原来的假设，也就是说他工作积极认真的假设很可能是错的。
所以显著性检验可以分为四个步骤:
1，开始实验；2.假设零假设成立；3.观察实验结果中事件O出现的概率，我们称之为P值。p值反映零假设的可能性；4.如果p值很小，我们认为实验结果不太可能满足零假设。你可以通过这种归谬法来判断，你原本想检验的猜想具有统计显著性。如果p值很大，我们就不得不承认零假设没有被推翻。
当然，显著性检验也有潜在的陷阱需要注意:
1和P值有多小才是显著的？显著和不显著之间没有明确的界限。
2，我们不能假设一个因素会有影响。如果我们太想得出有影响力的结论，我们可能会操纵实验。
3.不要误解“意义”。很多科学术语都有误导性，salience这个词就是典型的例子。要分清“显著性”和“有效性”的区别(论文写作要点是get√)。
研究表明，高个子父母生出高个子孩子的概率不是100%。其实父母和孩子的身高都是受回归效应影响的。在时间纵轴上受影响的、随机的一切都遵循这个规律。只要数据足够大，人类的身高或智商就趋于平均，这就是大家熟悉的“大数定律”。比如栗子，大医院的同性婴儿年出生率会比小医院更接近50%。你怎么想呢?
“少数服从多数”的原则很简单，看似公平，但只有涉及两种观点时才能达到最佳效果。只要有两种以上的观点，大多数人的偏好就会矛盾。所以可以说，民意根本不存在。更准确的说，只有大多数人认同，民意才会存在。如果我们按照逻辑行事，我们往往需要违背大多数人的意见。对于政治家来说，合理利用不一致的民意，只是为了满足大多数人，这是他们的职责。
彩票的购买价值和中奖价值是不一样的。购买价值是你购买一张彩票所花的金额，而中奖价值是引入概率论后彩票的真实价值。我们可以用期望值来表示。彩票的预期价值只有低于购买价值才不值得购买。如果高于购买价值，当你的购买金额达到一定数额时，彩票就是值得购买的。
数学思维其实是我们的一种本能，它其实和语言是一个本源。我们的祖先过去住在树上，经常需要从一根树枝跳到另一根树枝。他们需要良好的三维空间感。当它们到达开阔的草原时，需要判断距离，这就需要二维空间感。随着生活环境越来越复杂，我们的祖先开始有了判断因果关系的意识。然而，为什么自然的数学思维没有固化到我们的日常思维中呢？为什么我们大多数人还是觉得数学太难了？这里的关键是抽象。
抽象是数学工具箱中最强大的工具。数学家一有机会就会尝试抽象。最终，他们会完全忘记现实世界，专注于抽象的定义和概念。所以作者会说，孩子开始放弃学习数学有两个时刻，一个是接触分数的时候，一个是学习代数的时候，这是一个两步抽象的过程。抽象可以分为四个层次:眼见为实，思则信，见则不信，思则不信。最后，“思空”是数学思维的层次。数学对象是完全抽象的，它们与现实世界没有简单或直接的联系。数学是抽象之上的一个抽象层次。比如我们先在加减中接触到交换律和结合律，延伸到乘法，再到几何，再到函数，集合，矩阵。如果我们学数学，也会考虑群什么时候能满足交换律。数学的本质是一致的。这是一门关于模式的科学。有些模式相对简单，而有些相对复杂。复杂的模式只是模式的模式，甚至是模式的模式，于是我们开始迷茫。我们可以把数学想象成用乐高积木搭建的宏伟建筑。虽然看起来很复杂，但是仔细看就会发现，它是由简单的模块组装而成的。数学的本质是简单的东西是复杂的，而复杂的东西其实是简单的。这又回到了这本书的主题，为什么要学习简单而深刻的数学知识？
看了拉弗曲线，就能理解税率和政府的关系了。只有知道了“线性中心主义”，才能明白“比例换算”是如此的荒谬；“大数定律”是无情的手；“比盘子大的饼状图”反映了“真实但不准确”的数字错位...这些数学常识告诉我们，一定要注意数学出现的场合。没有附带的情况，数学就会成为你的工具，政治选票，市场数据，盈利报告。这个那个，他们往往被包裹在繁琐重叠的数字里。能打破它们的，是数学思维培养出来的洞察力。这就是作者想要的。
以上。