什么是向量？

向量标量:只有大小没有方向的物理标量:我们称之为标量。量，我们称之为标量。向量:有一个物理量，向量:有一个物理量，不能只用大小来完全描述，还要用方向来描述。比如需要用方向来描述。比如我们只知道一个人从学校门口走了1公里，无法确定他去了哪里。但如果你也知道他去的方向是正东，那地方。但是如果我们知道他往正东走，我们就能确定他到达了哪里。这既有大小又有方向，以此来判断他已经到了哪里。这个既有大小又有方向的物理量叫做矢量。我们称之为矢量。矢量和标量的根本区别在于是否有方向。矢量和标量的根本区别在于是否有方向。向量的模:向量的大小称为向量的模。向量A的模:向量的大小称为向量的模。v的模为:，v的模为:A或| A |。向量具有平移不变性:向量具有平移不变性:向量在空间平移时大小和方向不会改变，向量在空间平移时大小和方向不会改变。这个性质叫做矢量平移不变性。叫做矢量平移不变性。直角坐标下两个向量的表示:一个向量的表示:直角坐标下V向量A的表示可以用它在直角坐标下的三个投影分量(AX，Ay，Az)来表示:v v v单位向量，分别指向三个坐标轴的正方向。I，j，k:单位向量，分别指向三个坐标轴的正方向。球坐标下v v v A = Ax i+A y j+Az k的表达式:v v A = AeA v v v其中:是矢量A的模，eA是指向矢量A方向的单位矢量..向量。V方向余弦:一个矢量A与直角坐标中的三个坐标轴余弦:V所成的正角α、β、γ称为矢量A的方向余弦..很明显:余弦。明显的有:Ay Ax Az cosα= cosγ= cosβ= A A A A v v v v在青岛科技大学大学物理讲座1中用方向尾波A = A(cos α i+cos β j+cos γ k)串表示三个向量的合成。向量加法。V V V V V V A+B =(AXI+AYJ+AZK)+(BX I+BYJ+BZK)V V V =(AX+BX)I+(AY+BY)J+(AZ+BZ)K 2。向量减法向量减法(减)v v V方向相反，大小相等。B and B方向相反，大小相等，包括:v v v v v？B =？Bx i？B y j？Bz k青岛科技大学大学物理讲义矢量减法V V V V V V V A？B = ( Ax i + Ay j + Az k)？(Bx i + B y j + Bz k ) v v v = ( Ax？Bx )i + ( Ay？B y ) j + ( Az？Bz )k向量的加减称为向量的合成向量的加减称为向量的合成。向量的标积也叫向量的点乘，向量的标积也叫向量的点乘。定义为sum)本质上，一个向量的大小和另一个向量在其方向上的投影大小的乘积，v v A B = AB cos α v v v v v v V定义为:i i = j j = k k = 1， 并且标积定义为:V V V V V V V V V V V V V I J = J I = k . I = J k = k J = 0大学物理讲义向量的标积服从(1)汇率:汇率:(2)组合汇率:V V V V AB = B A V V V V V V V V V V V(A+B)C = A C+B C 2。 矢量积矢量的矢量积。向量的向量积也叫向量的叉积，定义为:向量的向量积也叫向量的叉积，定义为:叉积V根据右手螺旋法则确定的单位向量。其中e是根据右手螺旋法则由A和B确定的单位矢量。从矢量积的定义:从矢量积的定义:v v a×b = ab sinαe v v v v v v v v I×I = j×j = k×k = 0大学物理讲座青岛科技大学v v i× j = k v v v j× i =？k记忆模式v v v j x k = I v v k x j =？i v v v k ×i = j v v v i ×k =？j v v v v v v v v v v v I？j？k？我？j？k？我？j？k？正向叉积为正，反向叉积为负。正向叉积为正，反向叉积为负。叉积有如下性质:(1)不服从汇率:不服从汇率:v v v a× b =？B × A注意坐标轴的右旋螺旋旋转规律。V V V V V V (2)观察分布率:C × (A+B) = C × A+C × B观察分布率:(3)两个平行或反平行向量的矢量积为0。两个平行或反平行矢量的矢量积为。青岛科技大学大学物理讲义5 1。向量微积分向量的微分向量的微分只能应用于标量的导数公式:只能应用于标量的导数公式:v v d v v dA dB (1) (A+B)。=+dt dt dt v d[f(t)A]df(t)v dA(2)= A+f(t)dt dt dt v v v dB dA v d v v B(3)(A B)= A+dt dt dt dt v v v dB dA v d v v v(4)(A×B)= A×+×B dt。作为公式(1)的特例，直角坐标下的向量:作为公式的特例，对于直角坐标下的向量:公式V V V A = AXI+AYJ+AZK的特例有V DAX V DAZ V = I+J+K DTDTDTDT作为公式(2)的例子，球坐标下的向量:作为公式的例子 球坐标中的向量:公式v v A = AeA的一个例子有v v deA dA v = eA+A dt dt dt大学物理讲义青岛科技大学2。 积分向量的积分(积分)对:(1)时间的积分t:)∫t2t 1V T2VVadt =∫(AXI+AYJ+AZK)dtt 1 =(∫t2t 1V Axdt)一、对j+(∫ Az dt )k t1 t1的线积分:(2)沿曲线s:) ∫ s v vs =∫AXDX+∫AYDY+∫AZDZ x 1y 1z 1青岛科技大学大学物理讲义x2 y2 z2六位置矢量参考系。1参考系用来描述物体运动的标准物体称为参考系。选择的参考系不同，对物体运动的描述也不同，选择的参考系不同，对物体运动的描述也不同。这就是运动描述的相对性。这就是运动描述的相对性。例2(物质点、质点)质点(在研究物体的运动时，如果可以忽略它的大小和形状，如果可以忽略它的大小和形状对物体运动的影响，就可以把物体看成一个有质量的点(质点)。有质量的点(粒子)是科学抽象形成的理想化的物理模型。目的是突出研究对象的主要性质。暂且不考虑一些次要因素。确定质点P在坐标系中某一时刻位置的物理量称为v，在直位置矢量中，简称位置矢量R在直角坐标中，其表达式为:在角坐标中，其表达式为:Y Y v j v * P R v I v v v v v R = Xi+yj+ZK vv v v j k其中I，和分别是X，Y，Z轴上的单位矢量。单位矢量在轴向的大小(模数是势矢量R的模数)。对于青岛科技大学v 2 2 2 r = r = x+y +z大学物理讲义，方向余弦cosα = x r cos β = y r cos γ = z r y β v r α P P o 4轨迹方程(轨迹方程)。轨迹方程曲线的方程可以表示为z γ x v r (t) y y (t) f (x，y，Z) = 0也可以用直角坐标的三个分量表示为青岛科技大学z z (t) o大学物理讲义x(t) x分量公式(参数方程参数方程)参数方程x = x(t) y = y (t) z = z (t)也可以表示为一个矢量终端v v v v v r(t)= x(t)的轨迹。I+y(t) j+z(t)k从轨迹方程的向量形式，从轨迹方程的向量形式，我们可以立即写出曲线方程的分量公式，就可以得到大家熟悉的曲线方程f (x，y，Z) = 0青岛科技大学大学物理讲座举例，如果已知螺旋线的参数方程为x = a cosθ，其向量方程为y = a sin θ z = bθ v向量R对自变量θ v v v v dr =？a sin θ i+a cosθ j+bk dθ的函数，如果自变量θ仍是时间t的函数，则有v v v r = a cosθI+a sinθj+bθk v dr dθv dθv dθv dθv =？一个罪θ？i + a cosθ？j +b？K dt dt dt青岛科技大学物理讲义上描述的相对论，母亲带着听话的儿子上了一辆公交车，母亲带着听话的儿子上了一辆公交车。当公共汽车高速行驶时，母亲对儿子说:“站着别动。”儿子听话了，母亲对儿子说，站着别动。站好，那么如果以母亲为参照系，儿子是静止的，站好，那么如果以母亲为参照系，儿子是静止的，如果以地面观察者为参照系，孩子是运动的。如果把地面上的观察者作为参照系，孩子就是在动。