一个困扰我很久的几何问题！
我来写一下构造法证明的过程:
在任一三角形ABC中，我设X = 60+A/3，Y = 60+B/3，Z = 60+C/3。
那么x+y+z+120=360。
好了，现在我们要构建它了。我们先画一个等边三角形A1B1C1，然后按照以下步骤构造三个三角形A 'b1c1，A66。
在B1C1的边上，向A1的终点做两条夹角为X的射线，这两条射线要关于B1C1的垂直线对称。同理，A1C1的边也做出两条夹角为Y的射线，A1B1的边也做出两条夹角为Z的射线..然后，这些光线的交点分别是A'B'C '，三角形a' b1c1，a1b' c1，a1b1c '，并构造它们。天啊，我该怎么说清楚！]
一会儿，我们只需要证明三角形A'B'C '与三角形ABC相似，三角形A'B'C '的每个角上的两条直线是角的平分线。
好了，现在角B'A1C1=z，角B'C1A1=x，角A1B'C1等于180-x-z = y-60。
同理，我一下子写出来:三角形A'B'C' B1A 'c1，A1B 'c1，A1C 'B1的三个角等于A/3，B/3，C/。
延伸B'C1与C'B1的交点A2，则A2B1C1为等腰三角形，A2A1为A2的平分线(即B'A2C ')。
而x+60=角度B'C1B1=90+A2/2(这一步用等腰三角形做一条垂直线，自己算出来)。
别忘了定理，如果三角形中的一点O有一个角BOC=90+A/2，AO平分角A，那么O就是三角形的心ABC(忘了自证)。
那么A1就是三角形A2B'C '的心
同样，B1和C1是B2C'A '和C2A'B '的心脏
以及角度b ' A ' c 1 = c 1a ' b' = b 1a ' c ' = A/3，即A'=A且b ' = b，c' = C。
所以我得到了ABC，A'B'C的相似性！
我累坏了。我没说清楚。
估计还需要再修改一下
其他证明方法要用三角函数。
用三角函数证明的方法太多了，这里只说一种:
【交集:AE CE遇上e。
BD CD cross d
AF BF cross F]
注意A=3α，B=3β，C=3γ，AE=m，AF=n，△ABC的三边分别是A，B，C .
由于3α+3β+3γ = 180，α+β+γ = 60。α+β = 60-γ.
而nsin(α+β)=csinβ，所以n = csinβ/sin(α+β)= csinβ/sin(60-γ)。
类似地，m=bsinγ/sin(60-β)
在△ABC中，有bsin3γ=csin3β，因此
m/n =(sin 3β* sinγ* sin(60-γ))/(sin 3γ* sinβ* sin(60-β))
=(sin(60+β))/(sin(60+γ))
因为α+β+γ= 60°，所以有内角为60+β、60+γ和α的三角形，α角两边的比值为。
(sin(60+β))/(sin(60+γ))=m/n
△EAF类似于这个三角形，这样一来
∠AFE=60 +β
∠AEF=60 +γ
同样的方法可以证明∠ BFD = 60+α，并且
∠AFB=180 -(α+β)
因此
∠EFA+∠AFB+∠BFD =(60+β)+(180-α-β)+(60+α)= 300
所以∠ dfe = 60。
同理△DEF的另外两个内角也是60°。
所以△DEF是等边三角形。