形而上学笔记——仿射变换与齐次坐标
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看完前面的线代系列，看P2就比较简单了，可以用两倍的速度快速复习。在P3，你还可以用基坐标的变换来理解那些2D变换(作者用的是特殊的点推理)，比如:
参考/提问/20666664/回答/157400568，这里我只摘录一部分。
简单来说，“仿射变换”就是:“线性变换”+“平移”。
综上所述，线性变换是通过矩阵乘法实现的。
从几何直观来看只有两个要点:
原点不变。
上一节我们说过，线性变换是通过矩阵乘法来实现的，仿射变换不能只通过矩阵乘法来实现，还要通过加法来实现。
参考/提问/26655998/回答/43847213
我来回答，分为两个问题:
首先，我们用一个向量来表示空间中的一个点:r=[rx，ry，rz]
如果要翻译的话，翻译的向量是:t=[tx，ty，tz]
那么正常的做法是:r+t=[rx+tx，ry+ty，rz+tz]
如果不引入齐次坐标，简单通过3×3矩阵乘法实现平移。你要做的是找到一个矩阵m使得rm=r+t=[rx+tx，ry+ty，rz+tz]
然后你会发现你永远找不到这样的矩阵。
所以我们需要引入一个新的维度，原来的r=[rx，ry，rz，1]。然后我们可以找一个4X4的矩阵来实现平移。
在计算机图形学中，坐标变换通常不是单一的，一个几何体可能被设计成在每一帧中有多次平移、旋转、缩放等变化。我们通常通过级联各种子变化矩阵得到一个最终的变化矩阵，从而减少计算量。所以我们需要把翻译表达成一个变化矩阵。所以只能引入齐次坐标系。
关于齐次坐标的理解
我还没有完全理解对齐子坐标的概念，只看到大部分书都说“齐次坐标在仿射变换中非常方便”，然后就没有后记了。今天在一个叫“三百年重生”的博客上看到一篇关于透视投影变换讨论的文章，其中对齐子坐标有非常精辟的解释，尤其是对那句话:“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它不仅—— F.S. Hill，JR .
因为作者真的把对齐坐标解释的很好，我就原封不动的提取出来:
对于一个向量V和基oabc，我们可以找到一组坐标(v1，v2，v3)使得v = v1 a+v2 b+v3 c (1)。
对于一个点P，可以找到一组坐标(p1，p2，p3)，这样P–O = P 1A+P2 B+P3 C(2)
从上面向量和点的表达式可以看出，为了在坐标系中表示一个点(如P)，我们把点的位置看作是离这个基的原点O的位移，即向量-P-O(有的书把这样的向量叫做位置向量-从坐标原点开始的特殊向量)，我们在表示这个向量的同时，把点P: P = O+P6用等价的方式表示。
(1)(3)是矢量和点在坐标系中的不同表达。可以看出，虽然矢量和点都是以代数分量的形式表示的，但是表示一个点比矢量需要更多的信息。如果我写一个代数分量表示(1，4，7)，谁知道是向量还是点！
我们现在把(1)(3)写成一个矩阵:v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)。
P = (p1 p2 p3 1) X (a b c o)，其中(a，b，c，o)是坐标基矩阵，右边的列向量分别是向量v和基下点p的坐标。这样，向量和点在相同的基下有不同的表达式:3D向量的第四代数分量是0，而3D点的第四代数分量是1。这种用四个代数分量表示3D几何概念的方式是齐次坐标表示。
这样，如果把上面的(1，4，7)写成(1，4，7，0)，就是向量；如果是(1，4，7，1)，则是一个点。以下是法线坐标和齐次坐标之间的转换:
如果(x，y，z)是一个点，就变成(x，y，z，1)；
如果(x，y，z)是一个向量，它就变成(x，y，z，0)。
如果是(x，y，z，1)，已知是一个点，变成(x，y，z)；
如果是(x，y，z，0)，我们知道它是一个向量，仍然变成(x，y，z)。
以上就是齐次坐标区分向量和点的方法。由此我们可以认为，对于最常见的三种仿射变换，平移T、旋转R和缩放S，平移变换只对点有意义，因为普通向量没有位置的概念，只有大小和方向。
旋转和缩放对于矢量和点都是有意义的，你可以用上面类似的同质表示来检测它们。可见齐次坐标对于仿射变换是非常方便的。
另外，对于一个普通坐标的点P=(Px，Py，Pz)，有一个对应的齐次坐标族(wPx，wPy，wPz，w)，其中w不等于零。比如P(1，4，7)的齐次坐标是(1，4，7，1)，(2，8，14，2)，(-0.1，-0.4，-0.4。所以，如果把一个点从普通坐标换成齐次坐标，把x，y，z，y，z乘以同一个非零数w，再加上第四个分量w；如果把齐次坐标转换成普通坐标，前三个坐标同时除以第四个坐标，然后去掉第四个分量。
齐次坐标用四个分量来表示3D概念，这样平移变换就可以用矩阵来进行，这样更便于进行仿射(线性)变换，正如小F.S. Hill所说。因为图形硬件已经普遍支持齐次坐标和矩阵乘法，所以推动了齐次坐标的使用，使它看起来像是图形中的一个标准。
这个设计很完美，保证了下图的计算仍然有意义:
上图中，在一个点上再加一个点，结果是两个点的结束，因为w=1+1=2。
现在，齐次坐标中的变换如下:
上图很好理解吧？(x，y，1)表示齐次坐标下的变量，通过左乘旋转45度，再通过左乘平移。