大学整数拆分

拆分中不能有0，否则有无限种拆分方法:4 = 4+0 = 4+0+0 =...

直接认为4 = 4也是一种拆分。

设p(n)表示n次分裂的总数，补充了p(0) = 1，p(n) = 0对任意整数n的定义

P(n)没有封闭的通项公式，个人认为不会。

很容易得到以p(n)为系数的形式幂级数(生成函数)；

∑{ n≥0 } p(n)x^n =п{ n≥1 }(1+x^n+x^(2n)+x^(3n)+...)=п{ n≥1 } 1/(1-x^n).

结合欧拉的五角数定理，可以得到p(n)的一个递推公式:

P(n) = ∑{k是非零整数}(-1)(k-1)p(n-k(3k-1)/2)

=∑{ k≥1 }(-1)^(k-1)p(n-k(3k-1)/2)+∑{ k≥1 }(-1)^(k-1)p(n-k(3k+1)/2)。

注意，当k为非零整数时，k(3k-1)/2 >；0，另外，使得k (3k-1)/2 ≤ n的只有有限整数k .

所以和中只出现小于n的整数，只有有限项不为零。

另外，p(n)有一个渐变公式(当n→∞时，两边的比值趋于1):

e^(π√(2n/3))/(4n√3).