什么数学对物理很重要？

但首先要强调一点:做物理的人要知道为什么要研究某个领域，历史很重要。温伯格的书总是先讲历史，再整理物理；维尔切克在他的科普书中也强调了关注物理学发展史对于学习物理学的重要性。这是两个诺贝尔物理学奖第二梯度的人的亲身经历。一个例子就是为什么要研究量子场论，这是历史遗留问题。负能量是一个起点，相对论和量子力学结合是一个起点，二次量子化也是一个起点。当我们知道了量子场论的发展历史，自然就知道了量子场论要讲什么，要解决什么问题。

数学一直被认为是物理学的语言工具，但经过上个世纪的演变，它逐渐成为物理学的起点，甚至导致很多物理学家被同行批评是在研究数学而不是物理。这群人被数学家嘲笑语言不严谨，混乱，他们只知道为什么。这群人是研究大统一理论的人，不仅仅是弦理论。

现在很少有一百年前物理学家培养出来的学生了。从大学第一天开始，他们就要先学数学，这在很大程度上导致学生认为数学是物理的第一位(当然是第一位)。可惜大家都忘了，物理学的出发点是解释自然现象。自然现象很复杂，物理学只能抽象出最简单的模型，比如理想气体模型，伊辛模型。描述模型的严格语言是数学。

说了这么多，我只想说，物理要学数学。以下是关于物理学中按照数学分类的数学:

复变函数:在物理学中，虚数的应用非常广泛，傅立叶变换中虚数的引入消除了三角函数化简的许多问题。但其实复变函数最美的地方是保角变换(* * *形变换)。物理学中应用最广泛的是著名的* * *形场论。

我觉得有必要说点什么。物理学中最美的处理之一就是对称。虽然对称性并不能直接解决物理问题，但它给了物理学家一个极好的简化物理理论或模型的工具。通过研究对称性，人们对场和粒子进行了分类，定义了规范场，发现了如何赋予规范场粒子质量，也就是希格斯机制，甚至从对称性的定义中创造了超对称的概念，解决了很多问题，重新激发了物理和数学的相互作用。对称的数学理论是群论。

微分几何:注意这里说的是“微分”几何，实际上是从物理角度讲的广义微积分。通常大学里的微积分都是在欧氏空间里做的，没有整除的概念。在微分流形上，我们首先需要定义的是局部性的概念。只能做局部微积分，不能做整个微分流形。所以在物理学中，首先要用到微分几何的是连接时空和几何的广义相对论。规范场论在某种程度上有类似于广义相对论的公式，起源于规范场论与纤维丛的关系。

辛几何:泊松括号是量子化中一个非常重要的概念，这个概念与数学中的辛几何有着密切的联系。我对内容不熟悉，所以书和评论都给不了好的推荐。我只想强调一点，这是数学物理很严肃的一个方向，是数学家做的。有物理背景的人做这个事情很少见。