迄今为止世界上尚未解决的数学问题

四色猜想是由英国提出的。1852年，毕业于伦敦大学的弗朗西斯·格思里(Francis guthrie)来到一家科研单位做地图着色时，发现了一个有趣的现象:“似乎每张地图都可以用四种颜色着色，这使得同样边界的国家被涂上了不同的颜色。”这个结论可以用数学方法严格证明吗？他和正在读大学的弟弟格莱斯的研究一直没有进展。

1852 10他的弟弟向他的老师著名数学家德·摩尔根请教这个问题的证明。摩根也找不到解决这个问题的方法，于是他写信给他的好朋友，著名数学家汉密尔顿爵士寻求建议。直到1865年汉密尔顿去世，问题都没有解决。

1872年，当时英国最著名的数学家凯利正式向伦敦数学会提出了这个问题，于是四色猜想成为世界数学界关注的问题。在1878到1880的两年间，肯普和泰勒两位著名的律师和数学家分别提交了证明四色猜想的论文，并宣布证明了四色定理。

11年后，也就是1890年，数学家Hurwood指出Kemp的证明与自己的精确计算是错误的。很快，泰勒的证明也被否定了。于是，人们开始意识到，这个看似简单的题目，其实是一个堪比费马猜想的难题。

自20世纪以来，科学家们基本上是按照肯普的想法证明四色猜想的。1913年，boekhoff在Kemp的基础上引入了一些新的技巧，美国数学家富兰克林在1939年证明了22个国家下的地图可以用四种颜色着色。1950有人从22国晋级35国。1960中证明了39个国家以下的地图只用四种颜色就可以着色；然后推进到50个国家。看来这个进度还是很慢的。电子计算机出现后，由于计算速度的快速提高和人机对话的出现，四色猜想的证明过程大大加快了。1976年，美国数学家阿佩尔和哈肯在美国伊利诺伊大学两台不同的计算机上，花费了1200个小时，做出了1000亿次判断，最终完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明在世界上引起了轰动。它不仅解决了一个持续了100多年的难题，而且可能成为数学史上一系列新思想的起点。然而，许多数学家并不满足于计算机所取得的成就，他们仍然在寻找一种简单明了的书面证明方法。

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费马大定理，现代世界三大数学难题之一。

费马是17世纪最杰出的数学家之一。他在数学的许多领域都做出了巨大贡献。我们银行是专业律师。为了表彰他的数学造诣，世人称他为“业余王子”。360多年前的一天，费马正在读一本古希腊数学家迪奥芬多斯的数学书，突然心血来潮，写下一个看似简单的定理。这个定理的内容是关于一个方程x2+y2 =z2的正整数解。当n=2时，就是众所周知的勾股定理(中国古代也叫勾股定理):x2+y2 =z2，其中Z代表直角三角形的斜边，X和Y是它的两个分支，即直角三角形斜边的平方等于它的两个分支的平方和。当然，这个方程有整数解。

费马声称当n & gt2，找不到满足xn +yn = zn的整数解，比如找不到方程x3 +y3=z3。

求整数解。当时，费马没有解释原因。他只是留下了这段叙述，说他找到了证明这个定理的奇妙方法，但页面上没有足够的空间写下来。始作俑者费马就这样留下了一个永恒的问题。300多年来，无数数学家试图解决这个问题，却徒劳无功。这个被称为世纪难题的费马大定理，成了数学界的一大心病，极其渴望解决。

19世纪，法国弗朗西斯数学研究所在1815年和1860年两次向解决这个问题的任何人提供一枚金牌和300法郎。不幸的是，没有人能够领奖。德国数学家沃尔夫斯凯尔(P？Wolfskehl)在1908中提供10万马克给能证明费马大定理正确的人，有效期为100年。其间，由于大萧条，奖金数额已贬值至7500马克，但仍吸引了不少“数学白痴”。20世纪计算机发展以后，很多数学家都可以证明这个定理在n很大的情况下成立。1983年，计算机专家斯洛文尼亚斯基用计算机运行了5782秒，证明了n为286243-1时费马大定理是正确的(注286243-1是一个天文数字，约25960位数)。

尽管如此，数学家们还没有找到一个普适的证明。然而，这个300年的数学悬案终于被解决了。英国数学家安德鲁·怀尔斯解决了这个数学问题。事实上，威利斯用了二十世纪三十年来抽象数学发展的成果来证明。20世纪50年代，日本数学家谷山丰(Yutaka Taniyama)首先提出了一个关于椭圆曲率的猜想，这个猜想后来被另一位数学家岛村五郎发扬光大。当时谁也没想到这个猜想和费马大定理有什么关系。上世纪80年代，德国数学家弗雷将谷山裕太猜想与费马大定理联系起来，威利斯所做的就是根据这种联系证明谷山裕太猜想的一种形式是正确的，进而推导出费马大定理也是正确的。这个结论是威利斯在1993年6月美国剑桥大学牛顿数学研究所研讨会上正式发表的。这一报道立即震惊了整个数学界，就连数学门外的公众也给予了无限关注。然而，威利斯的证明立即被发现有一些缺陷，于是威利斯和他的学生又花了14个月的时间来纠正它。1994年9月，他们终于交出了一份完整无瑕的方案，数学的噩梦终于结束了。1997年6月，威利斯在德国哥廷根大学获得了沃尔夫斯凯尔奖。当时10万克约为200万美元，而威利斯收到时也只值5万美元左右，但威利斯已被载入史书，永垂不朽。

要证明费马大定理是正确的(即xn+yn = zn对n33没有正整数解)，只需要证明x4+ y4 = z4，xp+ yp = zp (P为奇素数)没有整数解即可。

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哥德巴赫猜想，现代世界三大数学难题之一。

哥德巴赫是德国中学教师，著名数学家。他出生于1690年，1725年当选俄罗斯科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被自身整除的数)之和。比如6 = 3+3，12 = 5+7等等。1742年6月，哥德巴赫写信告诉伟大的意大利数学家欧拉这个问题，请他帮忙证明。欧拉在6月30日给他的回信中说，他认为这个猜想是正确的，但他无法证明。描述这么简单的问题，即使是欧拉这样的顶尖数学家也无法证明，这个猜想引起了很多数学家的关注。他们开始检查偶数，直到达到3.3亿，这表明猜测是正确的。但对于一个更大的数字，猜测应该是正确的，但无法证明。欧拉到死也没有证明。从那以后，这个著名的数学问题吸引了全世界成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明。哥德巴赫猜想也因此成为数学皇冠上一颗高不可攀的“明珠”。直到20世纪20年代，人们才开始接近它。1920年，挪威数学家布觉用一种古老的筛选方法证明，得出了每一个比大的偶数都可以表示为(99)的结论。这种缩小包围圈的方法非常有效，于是科学家们从(99)开始逐渐减少每个数中质因数的个数，直到每个数都是质数，从而证明了“哥德巴赫”。1924年，数学家拉德·马哈尔证明了(7+7)；1932年，数学家艾斯曼证明了(6+6)；在1938中，数学家Buchstaber证明了(55)，在1940中，他证明了(4+4)。1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3+3)；在1958中，中国数学家王元证明了(23)。随后，我国青年数学家陈景润也致力于哥德巴赫猜想的研究。经过10年的艰苦研究，终于在前人研究的基础上取得重大突破，并率先证明(L 12)。至此，哥德巴赫猜想只是最后一步(1+1)。陈景润的论文发表在1973年中国科学院科学通报第17期。这一成果受到国际数学界的关注，使中国的数论研究跃居世界领先地位。陈景润的相关理论被称为“陈定理”。1996年3月下旬，当陈景润即将摘下数学皇冠上的明珠时，“当他离哥德巴赫猜想(1+1)的辉煌顶峰只有几尺之遥时，他筋疲力尽地倒了下去……”在他的身后，会有更多的人攀登这座高峰。

几个未解决的问题？

1，找到(1/1)3+(1/2)3+(1/3)3+(1/4)3+(65438更一般:

当k为奇数时，求(1/1)k+(1/2)k+(1/3)k+(1/4)k+(1/5)。

欧拉算出了:

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+…+(1/n)^2=(π^2)/6

当k是偶数时。

2.e+π的超越

这是希尔伯特第七个问题的特例。

e π的超越性已被证明，但至今无人证明e+π的超越性。

3.质数问题。

证明:ζ(s)= 1+(1/2)s+(1/3)s+(1/4)s+(1/5)s+

定义函数ζ(s)的零点除了负整数实数外，都有1/2的实部。这就是黎曼猜想。这是希尔伯特的第八个问题。美国数学家用计算机计算出ζ(s)函数的前300万个零，确实符合猜想。希尔伯特认为黎曼猜想的解决可以使我们严格地解决哥德巴赫猜想(任何偶数都可以分解为两个素数之和)和孪生素数猜想(有无穷多个差为2的素数)。

引申问题是:素数的表达式公式？质数的本质是什么？

4.有奇数完全数吗？

一个完全数等于它的因子之和。

前三个完全数是:

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

已知的32个完全数都是偶数。

1973得出结论，如果n是一个奇完全数，那么:

n & gt10^50

5.除了8 = 2 ^ 3和9 = 3 ^ 2，就没有两个连续的整数可以表示为其他正整数的幂吗？

这是加泰罗尼亚的猜想(1842)。1962年，中国数学家柯昭独立证明了不存在可以表示为其他正整数的幂的连续整数。1976年，荷兰数学家证明了任意两个大于某个数的正整数幂都是不连续的。所以只要检查任何小于这个数的正整数幂是否连续就可以了。但由于这个数太大，有500多位，超出了计算机的计算范围。所以这个猜想几乎是正确的，但是至今没有人能够证实。

6.给定一个正整数n，如果n是偶数，就改成n/2，如果除以后变成奇数，就乘以3加1(即3n+1)。重复这个操作，经过有限的几步，一定能得到1吗？

这个古老的猜想(1930)。人们通过大量的验算始终没有找到反例，但是没有人能证明。

希尔伯特23问题中三个未解决的问题。

1，问题1连续统假设。所有正整数的基数(称为可数集)和实数集的基数c(称为连续集)之间没有其他的基数。

1938奥地利数学家哥德尔证明了这个假设在集合论的公理系统，即Zeromolo-Fo Runkle的公理系统中是不可证伪的。1963年，美国数学家科恩证明，在这个公理系统中，这个假设不能被证明是正确的。到目前为止，没有人知道这个假设是对还是错。

2.问题2算术公理的相容性。

哥德尔证明了算术系统是不完备的，这就破灭了希尔伯特用元数学证明算术公理系统不矛盾的想法。

3.问题7:某些数字的不合理与超越。见上文2。

5、问题8素数问题。见上面第二条之3。

6.问题11的系数是任意代数数的二次型。

德国和法国的数学家在20世纪60年代取得了巨大的进步。

7.问题12阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。

这个问题只有一些零散的结果，还远远没有完全解决。

8.问题13:只用二元函数解7次一般代数方程是不可能的。

1957苏联数学家解决了连续函数的情况。如果需要解析函数，这个问题还没有完全解决。

9.问题15舒伯特计数微积分的严格基础。

代数中交点的个数。与代数几何有关。

10，问题16代数曲线曲面的拓扑。

代数曲线需要包含最大数量的封闭分支曲线。以及微分方程极限环的最大个数和相对位置。

11，问题18用全等多面体构造空间。

给定形式的无限等多面体的最紧密排列问题仍未解决。

12，第20题一般边值问题。

偏微分方程边值问题正在蓬勃发展。

13，问题23变分法的进一步发展。

四千零七道难题

2000年，美国克莱数学促进会提出。纪念百年前希尔伯特提出的23个问题。每个问题的奖励都是数百万美元。

1，黎曼猜想。见第3页，共2页。

通过这个猜想，数学家们相信素数分布之谜是可以解开的。这个问题是希尔伯特23个问题中的一个未解决的问题。数学家们通过研究黎曼猜想，认为它不仅将解开素数分布之谜，还将对解析数论、函数论、椭圆函数论、群论、素数检验等产生实质性影响。

2.杨-米尔斯理论和质量间隙假说。

在1954中，和米尔斯提出了杨-米尔斯规范理论。杨振宁从数学入手，提出了一个规范的理论框架，逐渐发展成为量子物理学的重要理论，使他成为现代物理学奠基的重要人物。在杨振宁和米尔斯提出的理论中，会有传递力的粒子，他们遇到的困难就是这个粒子的质量。他们数学推导的结果是，这个粒子有电荷，没有质量。但是，难点在于，如果这个带电粒子没有质量，为什么没有实验证据？如果假定粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家都相信质量，所以如何填补这个漏洞是一个非常具有挑战性的数学问题。

3.P对NP问题。

随着计算规模的增大，计算时间会以多项式方式增加的那类问题称为“P问题”。p问题的p是多项式时间的第一个字母。给定大小为n，如果可以确定计算时间在cnd以下(c和D为正实数)，我们称之为“多项式时间确定法”。这个算法能解决的问题就是P问题。另一方面，如果有其他因素，比如第六感，算法就叫做“非确定性算法”，这类问题就是“NP问题”。NP是非确定性多项式时间的缩写。根据定义，P问题是NP问题的一部分。但是NP问题中有不属于P问题层面的东西吗？还是NP问题终究会变成P问题？这就是相当著名的PNP问题。

4.纳维尔-斯托克斯方程。

因为欧拉方程过于简化，所以寻求修正，在修正的过程中产生了新的结果。法国工程师纳维尔和英国数学家斯托克经过严格的数学推导，还考虑了粘性项，得到了纳维尔-斯托克方程。自从法国数学家Leray在1943年证明了Naville-Stoke方程的整体弱解之后，人们就一直想知道这个解是否唯一。结果是如果假设Naville-Stoke方程的解是一个强解，那么这个解是唯一的。于是问题就变成了:弱解和强解的差距有多大，弱解有没有可能会和强解相等？换句话说，我们能得到纳维尔-斯托克方程的全时光滑解吗？进一步证明了在有限时间内，解会在有限时间内爆破。解决这个问题不仅对数学有贡献，对物理学和航天工程也有贡献，尤其是湍流。此外，纳维尔-斯托克方程还与伟大的奥地利物理学家波兹曼的波兹曼方程密切相关。研究纳维尔-斯托克斯方程与波兹曼方程关系的学问叫流体力学极限，说明纳维尔-斯托克斯方程本身。

5.庞加莱猜想(庞加莱猜想)

庞加莱猜想是拓扑学中的一大难题。用数学的行话来说，一个单连通的三维闭流形和一个三维球面同胚。从数学上来说，这是一个看似简单却非常困难的问题。自从庞加莱在1904年提出以来，这个研究课题吸引了许多优秀的数学家。庞加莱猜想(图4)提出后不久，数学家们很自然地将其推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱猜想:维数≥n(n4)的单连通闭流形，若与N维球面有相同的基本群，则必同胚于N维球面。时隔近60年，在1961年，美国数学家斯麦尔通过巧妙的方法直接证明了五维以上的广义庞加莱猜想(n5)，因此获得了1966年的菲尔兹奖。20年后，另一位美国数学家弗里德曼证明了四维庞加莱猜想，并以1986获得了这项成果的菲尔兹奖。但是我们真正生活的三维空间(n3)在当时还是一个未解之谜。直到2003年4月，俄罗斯数学家佩雷尔曼在麻省理工学院做了三次讲座，回答了许多数学家的问题。许多迹象表明佩雷尔曼可能已经破解了庞加莱猜想。几天后，《纽约时报》以“俄罗斯人解决著名数学题”为题，首次向公众公布了这一消息。当天，颇具影响力的数学网站MathWorld发表的头条文章是《庞加莱猜想被证明，这次是真的！」[14]。数学家的审查要到2005年才能完成，到目前为止，菲勒曼收不到克莱数学研究所的百万美元的漏洞还没有找到。

6.白质和斯温顿-戴尔猜想在计算椭圆的弧长时会遇到一般的椭圆曲线方程Y ^ 2 = X ^ 3+AX+B。自20世纪50年代以来，数学家们发现椭圆曲线与数论、几何和密码学密切相关。比如怀尔斯对费马大定理的证明中，其中一个关键步骤就是利用了椭圆曲线与模的关系——也就是谷山-志村猜想，而白川和斯温顿-戴尔猜想都与椭圆曲线有关。

20世纪60年代，英国剑桥大学的白质和斯温纳顿·戴尔用计算机计算了一些多项式方程的有理解。通常有无穷多个解，但如何计算无穷大？解决的办法是先分类，典型的数学方法是同余的概念，由此得出同余类，即除以一个数后的余数，不可能每个无穷数都有。数学家天生选择素数，所以这个问题和黎曼猜想的Zeta函数有关。经过长时间的计算和数据收集，他们观察到了一些规律和模式，从而提出了这个猜想。他们从计算机计算的结果断言，椭圆曲线会有无穷多个有理点，当且仅当附在曲线上的ζ函数ζ (s) =取值为0，即ζ(1)；当s1= 0时

7.霍奇猜想

“非奇异射影代数曲线上的任何调和微分形式都是代数圆上同调类的有理组合。这最后一个问题，虽然不是千年七题中最难的一个，但可能是普通人最不容易理解的一个。因为有太多深奥的专业和抽象的参考资料:

100数学、数学与文化基础问题，希尔伯特23个数学问题复习。