大学简单高数极限

抛弃这种等价无穷小的算法！“等价无穷小”这个概念本身就有些模糊。加减法之所以不能变成等价无穷小，是因为“等价无穷小”会带来一个问题，两个因子是几阶的等价无穷小。Tanx和sin x在x->；0是一个等价的无穷小，但是两个无穷小的阶不一样，或者无穷小的逼近速度不一样。

最安全的算法是泰勒展开:对于x->中的tanx和sinx泰勒展开在0，是的

tanx = x + (1/3)x^3 +o(x^5)

sinx = x - (1/6)x^3 + o(x^5)

这里展开到X 3就够了，因为分母只有X 3。展开过高后，那些尾项就变成了高阶无穷小。

所以tanx-sinx = (1/2) x 3+o (x 5)

所以(tanx-sinx)=(1/2)+[O(x 5)]/x 3，取极限的结果是1/2。

通过泰勒展开，发现tanx和sinx在x->；0确实是一个无穷小，但在x 3阶，两者的逼近速度不同，所以两个无穷小并不完全等价。但当我们只考虑X阶的情况时，一般称之为“等价无穷小”。