大学线代认证专题

(1)原向量组b1，b2、...，bn线性无关。“递增”后，a1，a2、...，获得一个。

假设a1，a2、...，和是线性相关的，那么

有编号k1、...，kn不全为零，所以

k1a1+k2a2+...+knan=0

那么只观察到向量组中每个向量前面部分的分量，显然有

k1b1+k2b2+...+knbn=0

因为k1，...，kn都不为0，根据线性相关的定义，我们知道

原向量组b1，b2、...，bn是线性相关的，得到矛盾！

所以假设不成立，在“成长”之后还是线性无关

(2)因为a1，a2、...，和是线性相关的，那么

有编号k1、...，kn不全为零，所以

k1a1+k2a2+...+knan=0

假设向量分量缩短后，分别为b1，b2，...，bn分别为。

显然有

k1b1+k2b2+...+knbn=0

因为k1，...，kn都不为0，根据线性相关的定义，我们知道

原向量组b1，b2、...，bn线性相关。