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考研高等数学大纲

第一单元函数、极限、连续性

函数的概念和表示；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；反函数、复合函数、隐函数、分段函数；基本初等函数的性质和图形；初等函数的简单应用及函数关系的建立:数列极限和函数极限的定义及其性质:函数的左右极限；无限小；无穷大；无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个判据；单调有界准则和夹点准则；两个重要的限制:

lim(sinx/x)=1，lim(1+1/x)x=e

x→0 x→∞

函数连续性的概念:函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质(最大值定理和最小值定理)

第二单元一元函数微分学

导数和微分的概念；导数的几何意义和物理意义；函数的可微性与连续性的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数；导数和微分的四则运算；反函数、复合函数、隐函数、参数方程确定的函数的微分法；高阶导数的概念；一些简单函数的导数；一阶微分形式的不变性；微分在近似计算中的应用:罗尔定理、拉朗格中值定理、柯西中值定理、泰勒定理、洛必达法则。

函数极值及其解，函数增减和函数图凹度的判定，函数图的拐点及其解，渐近线，函数图的描述，函数最大值和最小值的求解及其简单应用。

第3单元一元函数的积分学

原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念与性质，积分中值定理，变上限定积分及其导数，牛顿-莱布尼茨公式，不定积分与定积分的代换积分法与分部积分，有理函数与三角函数的有理公式，简单无理函数的积分，广义积分的概念与计算，定积分的应用，定积分的近似计算方法。

第四单元常微分方程

常微分方程的概念，微分方程的解、通解、初始条件、特解；变量可分方程，一阶线性微分方程，齐次方程，伯努利方程，可约高阶微分方程(y' = f (x)，y' = f (x，y ')，y "= f (y，y "))；线性微分方程解的性质及解的结构定理:二阶常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程。

第5单元多元函数微分学

向量的概念，曲面方程、平面方程、直线方程的概念及其解，点到点的距离，直线与平面的距离，母线与坐标轴平行的圆柱体。

多元函数的概念，二元函数的极限和连续性的概念，有界闭域上连续函数的性质，偏导数；全微分的概念，复合函数，隐函数的求导，二阶偏导数，多元函数极值的概念，多元函数极值的必要条件，极值的求解。

第6单元多元函数的积分学

二重积分的概念，二重积分的性质，二重积分的计算(直角坐标，极坐标)，两种曲线积分的概念，二重积分的几何应用。

第七单元幂函数

常数级数的敛散性概念，收敛幂级数和的概念，收敛的基本性质和收敛的必要条件；几何级数和p级数；正项级数的比较收敛、比收敛、根收敛、交错级数的莱布尼兹定理；绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域以及和函数的概念；幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数和函数的求解。