求大学高等数的极限

根据等价无穷小:

√(1+x) - 1 ~x/2

原始限制

=lim(x→0) ∫(sin？x，0) ln(1+t)dt / [(x^4)/2]

查函数y=ln(1+t)在[0，sin？x]上的积分显然满足积分中值定理，所以:

∫(罪？x，0) ln(1+t)

=ln(1+ε) (sin？x-0)

=罪？xln(1+ε)

其中:ε∈[0，sin？x]

因此:

原始限制

=lim(x→0) sin？xln(1+ε) / [(x^4)/2]

根据等价无穷小:

sinx ~x

ln(1+x) ~x

当x→0时，区间[0，sin？X]逼近0，ε和sin？x同样接近于零，所以:

ε~罪？x

所以:

原始限制

=lim(x→0) x？ε/[(x^4)/2]

=lim(x→0) x？x？/[(x^4)/2]

=2

这个问题也可以用罗必达定律，用变限积分可以导出分子！

原始限制

=lim(x→0) ln(1+sin？x) 2sinxcosx / 2x？

=lim(x→0) x？2 2x// 2x？

=2